Problem bei DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 28.09.2008 | | Autor: | petiz |
| Aufgabe | | y''+2y'+5y = cos(x) |
den homogenen Teil habe ich hinbekommen:
[mm] Y_{h} [/mm] = [mm] e^{-x} (C_{1}cos(2x)+C_{2}sin(2x))
[/mm]
beim partikulären Teil, habe ich Probleme:
Ich stelle die partikuläre Lösung auf:
[mm] Y_{p} [/mm] = [mm] C_{1}*cos(3x)+C_{2}*sin(3x)
[/mm]
und leite zweimal ab
[mm] Y_{p}' [/mm] = [mm] -3*C_{1}sin(3x)+3C_{2}cos(3x)
[/mm]
[mm] Y_{p}'' =-9*C_{1}cos(3x)-9C_{2}sin(3x)
[/mm]
nach Einsetzen in die allgemeine Lösung erhalte Ich
[mm] -9C_{1}*cos(3x) -9C_{2}*sin(3x) [/mm] - [mm] 6C_{1} [/mm] sin(3x) + [mm] 6C_{2}cos(3x)+5C_{1}cos(3x)+C_{2}sin(3x) [/mm] = cos(3x)
Durch Koeffizientenvergleich erhalte Ich
[mm] 6C_{2} [/mm] - [mm] 4C_{1} [/mm] = 1 für die "*cos(3x)" Summanden.. wie gehe ich denn mit den "*sin(3x)" Summanden um?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo petiz,
> y''+2y'+5y = cos(x)
> den homogenen Teil habe ich hinbekommen:
>
> [mm]Y_{h}[/mm] = [mm]e^{-x} (C_{1}cos(2x)+C_{2}sin(2x))[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> beim partikulären Teil, habe ich Probleme:
>
> Ich stelle die partikuläre Lösung auf:
>
> [mm]Y_{p}[/mm] = [mm]C_{1}*cos(3x)+C_{2}*sin(3x)[/mm]
wieso machst du diesen Ansatz?
Rechterhand der Dgl. steht doch [mm] $...=\cos(x)$
[/mm]
Oder ist das ein Tippfehler in der Aufgabenstellung, und es soll [mm] $...=\cos(3x)$ [/mm] heißen?
Außerdem hast du [mm] $C_1, C_2$ [/mm] schon vergeben, nimm andere Variablen!
Also wähle den Ansatz: [mm] $y_p=a\cdot{}\sin(x)+b\cdot{}\sin(x)$
[/mm]
Im Falle, dass die DGL [mm] $...=\cos(3x)$ [/mm] heißt, ist dein Ansatz und die weitere Rechnung richtig (bis auf die Variablenvergabe  )
>
> und leite zweimal ab
mache das mal mit dem anderen Ansatz oben, dann kommt es hin ...
>
> [mm]Y_{p}'[/mm] = [mm]-3*C_{1}sin(3x)+3C_{2}cos(3x)[/mm]
> [mm]Y_{p}'' =-9*C_{1}cos(3x)-9C_{2}sin(3x)[/mm]
>
>
> nach Einsetzen in die allgemeine Lösung erhalte Ich
>
> [mm] $-9C_{1}*cos(3x) -9C_{2}*sin(3x) [/mm] - [mm] 6C_{1} [/mm] sin(3x) + [mm] 6C_{2}cos(3x)+5C_{1}cos(3x)+\red{5}C_{2}sin(3x) [/mm] = cos(3x)$
>
> Durch Koeffizientenvergleich erhalte Ich
>
> [mm]6C_{2}[/mm] - [mm]4C_{1}[/mm] = 1 für die "*cos(3x)" Summanden.. wie gehe
> ich denn mit den "*sin(3x)" Summanden um?
Für den [mm] $\sin(3x)$-Term [/mm] erhältst du: [mm] $(-6C_1-4C_2)\cdot{}\sin(3x)=0$
[/mm]
In der Ausgangsdgl steht ja [mm] $...=1\cdot{}\cos(3x)+0\cdot{}\sin(3x)$
[/mm]
Damit hast du ein LGS mit 2 Gleichungen in 2 Unbekannten ...
Das gilt es zu lösen ...
Gesamtlösung ist dann [mm] $y=y_h+y_p$
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | (geht aus der Fragestellung hervor!) |
Frohe Weihnachten schonmal!
Ich habe gerade angefangen mich mit inhomogenen DGLs 2. Ordnung zu beschäftigen. Daraus ergibt sich hier für mich eine Frage: Warum wird hier der Ansatz für die partikuläre Lösung verwendet, indem der Faktor [mm]e^(-x)[/mm] nicht vorkommt?
Es wäre nett, wenn mir dies jemand mal kurz erläutert, eine ganz kurze Erklärung abgibt.
Schonmal danke im Vorraus!
Schöne Grüße
Goldener Schnitt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Di 23.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Goldener Schnitt!
Der Typ der partikulären Lösung wird allein durch die Störfunktion (= Inhomogenität); hier: $s(x) \ = \ [mm] \cos(x)$ [/mm] bestimmt.
Und da auch keine e-Funktion auftritt, wird diese auch nicht in der partikulären Lösung angesetzt.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | (siehe Fragestellung!) |
Hallo Loddar!
...ersteinmal danke für deine Antwort. Aufgrund selbiger bin ich nun jedoch komplett verwirrt. Ich war davon ausgegangen, man müsste die homogene Lösung der DGL in diese einsetzten um dann gemäß der Variation der Konstanten eben diese zu bestimme, wodurch man dann die partikuläre Lösung erhält.
Das scheint hier ja offensichtlich falsch zu sein oder nicht zu funktioniere.
Wärest du bereit, mit noch einmal kurz den Ansatz und Weg zu skizzieren, mit dem man die partikuläre Lösung bestimmen kann?
Das wäre sehr nett, dankeschöne!
Mit netten Weihnachtsgrüßen
Goldener Schnitt
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Hallo Goldener_Sch.,
> (siehe Fragestellung!)
> Hallo Loddar!
> ...ersteinmal danke für deine Antwort. Aufgrund selbiger
> bin ich nun jedoch komplett verwirrt. Ich war davon
> ausgegangen, man müsste die homogene Lösung der DGL in
> diese einsetzten um dann gemäß der Variation der Konstanten
> eben diese zu bestimme, wodurch man dann die partikuläre
> Lösung erhält.
> Das scheint hier ja offensichtlich falsch zu sein oder
> nicht zu funktioniere.
> Wärest du bereit, mit noch einmal kurz den Ansatz und Weg
> zu skizzieren, mit dem man die partikuläre Lösung bestimmen
> kann?
Nun wie Loddar schon schrieb, der Typ der partikulären Lösung wird allein
durch die Störfunktion bestimmt.
Wenn die Störfunktion oder ein Glied von ihr zugleich Lösung der homogenen DGL (Resonanzfall), dann führt die Variation der Konstanten zum Ziel, allerdings fordert dieser Weg erheblichen Rechenaufwand.
Angenommen, die Störfunktion lautet [mm]e^{-x}*\cos\left(2x\right)[/mm], dann muss man für die partikuläre Lösung den Ansatz
[mm]y_{p}\left(x\right)=A*x*e^{-x}*\sin\left(2x\right)+B*x*e^ {-x}*\cos\left(2x\right)[/mm]
gemacht werden, da die Störfunktion zugleich Lösung der homogenen DGL ist.
> Das wäre sehr nett, dankeschöne!
>
>
> Mit netten Weihnachtsgrüßen
>
> Goldener Schnitt
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower!
und ein frohes neues Jahr 2009.
...danke für deine Antwort und entschuldige das ich nicht eher hierauf reagiert habe. Aber der Weihnachtsstress und dann war ich noch weg..., das übliche.
Jedoch nocheinmal zum Thema: Ganz verstanden habe ich noch nicht, warum dann der Ansatz beispielsweise für ein solches Störglied einer Kosinusfunktion genau so aussieht. Ich denke ich muss mich erstmal damit noch eingehend beschäftigen. Solltest du vielleicht irgendwann einmal Zeit übrig haben, kannst du dies ja vielleicht noch einmal ein bisschen erläutern. Bis hierhin aber erstmal danke.
Grüße
Goldener Schnitt
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