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Problem: Gruppe, Ring und Körp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mi 27.06.2007
Autor: lisi96

Hallo! Hab Gruppe, Ring und Körper ausgearbeitet und bin mir bei manchen Sachen nicht sicher ob man das so sagen kann:

Gruppe, wenn gilt:
assoziativ
inverses Element
neutrales Element
kommutativ
abgeschlossen

Halbgruppe, alles wie Gruppe nur das inverse Element fehlt

Ring:
wenn die Menge eine Gruppe ist, es gilt das Distributivgesetz und die Multiplikation ist assoziativ

Körper:
wenn es zwei Gruppen (bezüglich eine bei der Addition und eine bei der Multiplikation) sind und das Distributivgesetz gilt.
oder:
Ring und Eigenschaften der multiplikativen Gruppe besitzen

lg lisi

        
Bezug
Problem: Gruppe, Ring und Körp: Definitionen.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mi 27.06.2007
Autor: kochmn

Hi Lisi,

Eine Menge G, zusammen mit einer binären Verknüpfung * heißt
Gruppe, wenn
  * Sie ein neutrales Element e enthält mit a*e=e*a=a für a [mm] \in [/mm] G
  * Assoziativ ist.
  * Zu jedem a ein inverses Element [mm] a^{-1} [/mm] existiert mit
    [mm] a^{-1}*a [/mm] = [mm] a*a^{-1} [/mm] = e

Ist die binäre Verknüpfung überdies kommutativ, so spricht man
von einer abelschen Gruppe.

Eine Menge R, zusammen mit zwei binären Verknüpfungen * und o
heißt Ring, wenn
  * R zusammen mit * eine abelsche Gruppe bildet.
  * Die Verknüpfung o assoziativ ist
  * Distributivität gilt:
      x o (y*z) = xoy * xoz
      (x*y) o z = xoz * yoz

Der Ring heißt Ring mit Eins, wenn es für o ein neutrales Element gibt.
Der Ring heißt kommutativ, wenn o kommutativ ist.

Eine Menge K mit den Verknüpfungen * und o heißt Körper, wenn
  * (K,*) eine abelsche Gruppe bildet
  * (K ohne das neutrale Element von *, o) eine abelsche Gruppe bildet.
  * Das Distributivgesetz auf K(*,o) anwendbar ist:
      x o (y*z) = xoy * xoz
      (x*y) o z = xoz * yoz

Sollte o aus irgendwelchen Gründen doch nicht kommutativ sein, so spricht man zumindest noch von einem Schiefkörper.

Liebe Grüße
  Markus-Hermann

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