Probeklausur No.2 < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:49 Sa 24.03.2018 | | Autor: | Jellal |
Hallo zusammen,
Aufgaben einer Probeklausur.
Wäre dankbar, wenn wer drüberschauen könnte!
A1) Im Erdgeschoss eines Hauses mit 10 Obergeschossen steigen 3 Personen in den Fahrstuhl, die unabhängig voneinander und jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einem der 10 Obergeschosse aussteigen. Auf der Fahrt nach oben steigt niemand hinzu.
a)Geben Sie einen geeigneten Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum aus den Modellen Kombinationen/Permutationen mit/ohne Wiederholung an.
Lösung: Die Personen seien unterscheidbar und können alle auf der gleichen Etage aussteigen.
Geeignet ist daher [mm] \Omega:=Per_{3}^{10}(m.W.) [/mm] mit [mm] P(x\in \Omega)=\bruch{1}{|\Omega|}=\bruch{1}{10^{3}}.
[/mm]
b) Die Zufallsvariable X gebe an, wie oft der Fahrstuhl auf dem Weg nach oben hält. Bestimmen Sie die Zähldichte von X.
Lösung: X [mm] \in \{1,2,3\}:=K, [/mm] hängt ab von der Anzahl der Komponenten in Tupeln aus [mm] \Omega, [/mm] die verschieden sind.
[mm] P^{X}(k\in K)=\bruch{|A_{k}|}{|\Omega|}
[/mm]
[mm] A_{1}:=\{(a_{1},a_{2},a_{3}) \in \Omega: alle a_{i} gleich \}
[/mm]
--> [mm] |A_{1}|=10
[/mm]
[mm] A_{2}:=\{(a_{1},a_{2},a_{3}) \in \Omega: zwei der a_{i} sind gleich \}
[/mm]
--> [mm] |A_{2}|=10*\vektor{3 \\ 2}*9=270
[/mm]
[mm] A_{3}:=\{(a_{1},a_{2},a_{3}) \in \Omega: alle a_{i} verschieden \}
[/mm]
--> [mm] |A_{3}|=10*9*8=720
[/mm]
--> [mm] P^{X}(1)=\bruch{10}{1000}=1 [/mm] Prozent
[mm] P^{X}(2)=\bruch{270}{1000}=27 [/mm] Prozent
[mm] P^{X}(3)=\bruch{720}{1000}=72 [/mm] Prozent
c) Wie groß ist die Wkeit, dass der Fahrstuhl höchstens bis ins 8. Obergeschoss fährt?
Lösung:
[mm] B:=\{(a_{1},a_{2},a_{3})\in \Omega: max_{i=1,2,3} a_{i} \le 8\}
[/mm]
[mm] |B|=|Per_{3}^{8}(m.W.)|=8^{3}=512
[/mm]
--> [mm] P(B)=\bruch{512}{1000}=51,2 [/mm] Prozent
d) Wie groß ist die Wkeit, dass mind. zwei Personen im gleichen Stockwerk aussteigen?
Lösung:
[mm] C:=\{(a_{1},a_{2},a_{3})\in \Omega: mind. zwei der a_{i} sind gleich\}
[/mm]
[mm] P(C)=1-P(C^{c}) [/mm] mit [mm] C^{c}=\{(a_{1},a_{2},a_{3})\in \Omega: alle a_{i} verschieden\}
[/mm]
Damit ist [mm] P(C^{c})=P^{X}(3) [/mm] und daher P(C)=1-0,72=28 Prozent
A2) Der Zufallsvektor (X,Y) sei gleichverteilt auf dem Rechteck [-2,2] x[0,1]. Betrachten Sie das quadratische Polynom [mm] f(x)=x^{2}+px+q [/mm] mit zufälligen Koeffizienten p,q, die identisch mit (X,Y) verteilt sind.
a)Zeigen Sie, dass X, bzw. Y gleichverteilt auf [-2,2], bzw. [0,1] sind (d.h. bestimmen Sie die Randverteilungen).
Lösung: Die gemeinsame Verteilung ist ja die Gleichverteilung auf dem Rechteck, also [mm] f^{(X,Y)}((x,y))=\bruch{1}{4}.
[/mm]
Die Randverteilungen ergeben sich durch Integration von [mm] f^{(X,Y)} [/mm] über das Y-Intervall (für X-Verteilung) und über das X-Intervall (für Y-Verteilung).
Dann ist [mm] f^{X}(x)=\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] f^{Y}(y)=1.
[/mm]
Um zu zeigen, dass es Gleichverteilungen auf den entsprechenden Intervallen sind, muss man nun noch jeweils darüber integrieren und erhält 1.
b)Begründen Sie, dass X und Y unabhängig sind.
Lösung: Die Randverteilungsdichten hängen in keiner Weise von der jeweils anderen Variable ab --> X,Y unabhängig.
c)Bestimmen Sie E(f(-1)) und Var(f(-1))
Lösung:
E(f(-1))=E(1-p+q)=1-E(X)+E(Y)=1-0+0,5=1,5.
Var(f(-1))=Var(1-p+q)=Var(q-p)=Var(q+(-p))=Var(q)+Var(-p)=Var(q)+Var(p).
Mit den Erwartungswerten und den Einfachen Integralen
[mm] \bruch{1}{4}\integral_{-2}^{2}{x^{2} dx}= \bruch{4}{3}und \integral_{0}^{1}{y^{2} dy}=\bruch{1}{3} [/mm] folgt
[mm] Var(f(-1))=\bruch{17}{12}.
[/mm]
d) Bestimmen Sie die Wkeit, dass f zwei verschiedene relle Nullstellen besitzt.
Lösung: f(x)=0 meint [mm] x=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}.
[/mm]
Die beiden Lösungen sind reell und verschieden, wenn [mm] p>2\wurzel{q}.
[/mm]
[mm] P(p>2\wurzel{q})=\integral_{0}^{1}{dq}\integral_{2\wurzel{q}}^{2}{\bruch{1}{4} dp}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{4}(2-2\wurzel{q}) dq}=\bruch{1}{6}
[/mm]
A.3)
Für festes a>0 sei die Abbildung F: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] gegeben durch [mm] F(x)=exp(-ae^{-x}).
[/mm]
a)Begründen Sie, dass F die Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist und bestimmen Sie die Dichtefunktion.
Lösung:
Dichtefunktion ergibt sich durch Ableiten zu [mm] f(x)=ae^{-x}*e^{-ae^{-x}}
[/mm]
Aber wie begründet man, dass die Zufallsvariable wirklich kontinuierlich verteilt ist? Wenn ich die Dichte erst mal habe, könnte ich über die ganzen reellen Zahlen integrieren, sodass 1 herauskommt. Also muss X kontinuierlich auf [mm] \IR [/mm] sein.
Aber kann man das auch vor dem Erhalten der Dichtefunktion sehen?
b)Seien X,Y unabhängig verteilt nach F. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von max(X,Y).
Lösung: Diese ist einfach das Produkt der Verteilungsfunktionen, also [mm] exp(-a(e^{-x}-e^{-y})).
[/mm]
Beste Grüße
Jellal
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Hiho,
> A.3)
> Für festes a>0 sei die Abbildung F: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] gegeben
> durch [mm]F(x)=exp(-ae^{-x}).[/mm]
>
> a)Begründen Sie, dass F die Verteilungsfunktion einer
> kontinuierlichen Zufallsvariablen ist und bestimmen Sie die
> Dichtefunktion.
> Lösung:
> Dichtefunktion ergibt sich durch Ableiten zu
> [mm]f(x)=ae^{-x}*e^{-ae^{-x}}[/mm]
Wenn du wüsstest, dass $F$ eine differenzierbare Verteilungsfunktion wäre, wäre das richtig.
> Aber wie begründet man, dass die Zufallsvariable wirklich
> kontinuierlich verteilt ist? Wenn ich die Dichte erst mal
> habe, könnte ich über die ganzen reellen Zahlen
> integrieren, sodass 1 herauskommt. Also muss X
> kontinuierlich auf [mm]\IR[/mm] sein.
Also: Es fehlt überhaupt noch die Begründung, warum $F$ eine Verteilungsfunktion ist.
Dafür kannst du nun wie folgt vorgehen:
1.) Du zeigst, dass dein f wirklich die Eigenschaften einer Dichtefunktion erfüllt (welche wären das?)
2.) Du zeigst, dass F die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion erfüllt (welche wären das?). Welche Eigenschaft muss F haben, damit die zugrundeliegende ZV kontinuierlich (auch stetig genannt!) ist?
> Aber kann man das auch vor dem Erhalten der Dichtefunktion sehen?
Ziehe Punkt 2.) oben, den du auch bevorzugen solltest, da allgemeiner.
> b)Seien X,Y unabhängig verteilt nach F. Bestimmen Sie die
> Verteilungsfunktion von max(X,Y).
> Lösung: Diese ist einfach das Produkt der
> Verteilungsfunktionen, also [mm]exp(-a(e^{-x}-e^{-y})).[/mm]
Die Aussage ist zwar korrekt, du solltest aber begründen, warum!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 25.03.2018 | | Autor: | Jellal |
> Hiho,
>
> > A.3)
> > Für festes a>0 sei die Abbildung F: [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm]
> gegeben
> > durch [mm]F(x)=exp(-ae^{-x}).[/mm]
> >
> > a)Begründen Sie, dass F die Verteilungsfunktion einer
> > kontinuierlichen Zufallsvariablen ist und bestimmen Sie die
> > Dichtefunktion.
>
> > Lösung:
> > Dichtefunktion ergibt sich durch Ableiten zu
> > [mm]f(x)=ae^{-x}*e^{-ae^{-x}}[/mm]
> Wenn du wüsstest, dass [mm]F[/mm] eine differenzierbare
> Verteilungsfunktion wäre, wäre das richtig.
>
> > Aber wie begründet man, dass die Zufallsvariable wirklich
> > kontinuierlich verteilt ist? Wenn ich die Dichte erst mal
> > habe, könnte ich über die ganzen reellen Zahlen
> > integrieren, sodass 1 herauskommt. Also muss X
> > kontinuierlich auf [mm]\IR[/mm] sein.
> Also: Es fehlt überhaupt noch die Begründung, warum [mm]F[/mm]
> eine Verteilungsfunktion ist.
>
> Dafür kannst du nun wie folgt vorgehen:
> 1.) Du zeigst, dass dein f wirklich die Eigenschaften
> einer Dichtefunktion erfüllt (welche wären das?)
> 2.) Du zeigst, dass F die Eigenschaften einer
> Verteilungsfunktion erfüllt (welche wären das?). Welche
> Eigenschaft muss F haben, damit die zugrundeliegende ZV
> kontinuierlich (auch stetig genannt!) ist?
>
>
> > Aber kann man das auch vor dem Erhalten der Dichtefunktion
> sehen?
> Ziehe Punkt 2.) oben, den du auch bevorzugen solltest, da
> allgemeiner.
>
Hey Gono, danke dir.
Also die Verteilungsfunktion muss
a) die Normierung erfüllen, also [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1.
[/mm]
Das ist hier gegeben.
b) Sie muss nach [0,1] abbilden, also zudem [mm] \limes_{n\rightarrow -\infty}F(x)=0 [/mm] (hier gegeben) und monoton wachsend sein.
Sei [mm] x_{1,2}\in \IR [/mm] mit [mm] x_{2}>x_{1}.
[/mm]
--> [mm] e^{-x_{2}}
--> [mm] e^{-ae^{-x_{2}}}> e^{-ae^{-x_{1}}} [/mm]
Also ist F(x) eine Verteilungsfunktion?
Kontinuierlich heißt wohl, dass die Wkeit für ein einzelnes x null sein muss.
[mm] P({x})=F(x)-\limes_{\epsilon\rightarrow 0} F(x-\epsilon)=0, [/mm] da F als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig ist.
Bei einer diskreten Verteilung gäbe es manche x, für die der Term nicht 0 wäre.
> > b)Seien X,Y unabhängig verteilt nach F. Bestimmen Sie die
> > Verteilungsfunktion von max(X,Y).
> > Lösung: Diese ist einfach das Produkt der
> > Verteilungsfunktionen, also [mm]exp(-a(e^{-x}-e^{-y})).[/mm]
> Die Aussage ist zwar korrekt, du solltest aber begründen,
> warum!
Ok, das war ein Lemma aus der Vorlesung und braucht daher wohl nicht nochmal bewiesen werden.
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Hiho,
> Also die Verteilungsfunktion muss
> a) die Normierung erfüllen, also
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1.[/mm]
> Das ist hier gegeben.
> b) Sie muss nach [0,1] abbilden, also zudem
> [mm]\limes_{n\rightarrow -\infty}F(x)=0[/mm] (hier gegeben) und
> monoton wachsend sein.
Ja, wobei sich das "nach [0,1] abbilden" schon aus [mm] $\lim_{x\to -\infty} [/mm] F(x) = 0, [mm] \lim_{x\to \infty} [/mm] F(x) = 1$ und dem monoton wachsend ergibt.
> Sei [mm]x_{1,2}\in \IR[/mm] mit [mm]x_{2}>x_{1}.[/mm]
> --> [mm]e^{-x_{2}}
> --> [mm]e^{-ae^{-x_{2}}}> e^{-ae^{-x_{1}}}[/mm]
>
> Also ist F(x) eine Verteilungsfunktion?
Was wesentliches fehlt noch… die Rechtsstetigkeit.
> Kontinuierlich heißt wohl, dass die Wkeit für ein
> einzelnes x null sein muss.
> [mm]P({x})=F(x)-\limes_{\epsilon\rightarrow 0} F(x-\epsilon)=0,[/mm]
> da F als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig ist.
Ja, aber das ergibt sich sofort, wenn man eben feststellt, das F stetig ist.
> Bei einer diskreten Verteilung gäbe es manche x, für die
> der Term nicht 0 wäre.
Genau, an den Stellen wäre F nur rechtsstetig, aber nicht stetig.
> > > b)Seien X,Y unabhängig verteilt nach F. Bestimmen Sie die
> > > Verteilungsfunktion von max(X,Y).
> > > Lösung: Diese ist einfach das Produkt der
> > > Verteilungsfunktionen, also [mm]exp(-a(e^{-x}-e^{-y})).[/mm]
> > Die Aussage ist zwar korrekt, du solltest aber
> begründen,
> > warum!
>
> Ok, das war ein Lemma aus der Vorlesung und braucht daher
> wohl nicht nochmal bewiesen werden.
In der Klausur vllt, bei mir schon… zumal das ein Einzeiler ist!
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Mo 26.03.2018 | | Autor: | Jellal |
Ok, also die rechtsseitige Stetigkeit ist gegeben, da die Funktion eben stetig ist?
Und für das andere: [mm] P(max(X,Y)\le a)=P(x\le [/mm] a, [mm] y\le a)=F^{X}(a)F^{Y}(a) [/mm] wegen der Unabhängigkeit?
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Hiho,
> Ok, also die rechtsseitige Stetigkeit ist gegeben, da die
> Funktion eben stetig ist?
Jop…
> Und für das andere: [mm]P(max(X,Y)\le a)=P(x\le[/mm] a, [mm]y\le a)=F^{X}(a)F^{Y}(a)[/mm]
> wegen der Unabhängigkeit?
Jop
Nochmal kurz zur kontinuierlichen ZV: Eine ZV ist kontinuierlich (stetig), genau dann, wenn die zugehörige Verteilungsfunktion stetig ist.
D.h. deine Begründung mit "für einzelne x…" ist zwar nicht falsch, aber es geht eben knackiger und kürzer 
Gruß,
Gono
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Hiho,
> A2) Der Zufallsvektor (X,Y) sei gleichverteilt auf dem
> Rechteck [-2,2] x[0,1]. Betrachten Sie das quadratische
> Polynom [mm]f(x)=x^{2}+px+q[/mm] mit zufälligen Koeffizienten p,q,
> die identisch mit (X,Y) verteilt sind.
>
> a)Zeigen Sie, dass X, bzw. Y gleichverteilt auf [-2,2],
> bzw. [0,1] sind (d.h. bestimmen Sie die Randverteilungen).
> Lösung: Die gemeinsame Verteilung ist ja die
> Gleichverteilung auf dem Rechteck, also
> [mm]f^{(X,Y)}((x,y))=\bruch{1}{4}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Randverteilungen ergeben sich durch Integration von
> [mm]f^{(X,Y)}[/mm] über das Y-Intervall (für X-Verteilung) und
> über das X-Intervall (für Y-Verteilung).
> Dann ist [mm]f^{X}(x)=\bruch{1}{4}[/mm] und [mm]f^{Y}(y)=1.[/mm]
> Um zu zeigen, dass es Gleichverteilungen auf den
> entsprechenden Intervallen sind, muss man nun noch jeweils
> darüber integrieren und erhält 1.
Nee…
Jede Dichtefunktion über die genannten Intervalle würde zu 1 aufintegrieren.
Und das Intervall kannst du so auch nicht bestimmen, weil nur die Länge des Intervalls entscheidend ist, dass da 1 rauskommt, nicht die Lage.
Also auch bei Integration über [0,4] würde [mm] $f^X$ [/mm] als Ergebnis 1 rauswerfen… zumindest so wie du es notierst.
Sauber aufschreiben müsste man das eigentlich so: Die gemeinsame Dichte ist gegeben durch: [mm] $f^{(X,Y)}((x,y))=\bruch{1}{4}1_\{[-2,2]\}(x) 1_\{[0,1]\}(y)$ [/mm]
Die Randdichten ergeben sich nun, indem man über [mm] \IR [/mm] nach x bzw y integriert.
Dann bekommst du nämlich:
[mm] $f^Y(y) [/mm] = [mm] 1_{[0,1]}(y)$ [/mm] und [mm] $f^X(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{4}\cdot 1_{[-2,2]}(x)$
[/mm]
Und dann ist auch sofort klar, auf welchem Intervall die jeweilige Dichtefunktion "lebt".
> b)Begründen Sie, dass X und Y unabhängig sind.
> Lösung: Die Randverteilungsdichten hängen in keiner
> Weise von der jeweils anderen Variable ab --> X,Y
> unabhängig.
Autsch!
Die Randdichte hängt NIE von der jeweils anderen Variablen ab, was man leicht erkennt z.B. für die Randdichte von X gilt ja:
[mm] $f^X(x) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^\infty f_{(X,Y)}(x,y) [/mm] dy$
Das Integral integriert man nun nach dy und damit steckt im Ergebnis kein y mehr drin!
Zur Unabhängigkeit: Wann sind zwei ZV mit Dichten unabhängig?
> c)Bestimmen Sie E(f(-1)) und Var(f(-1))
> Lösung:
> E(f(-1))=E(1-p+q)=1-E(X)+E(Y)=1-0+0,5=1,5.
>
> Var(f(-1))=Var(1-p+q)=Var(q-p)=Var(q+(-p))=Var(q)+Var(-p)=Var(q)+Var(p).
> Mit den Erwartungswerten und den Einfachen Integralen
> [mm]\bruch{1}{4}\integral_{-2}^{2}{x^{2} dx}= \bruch{4}{3}und \integral_{0}^{1}{y^{2} dy}=\bruch{1}{3}[/mm]
> folgt
> [mm]Var(f(-1))=\bruch{17}{12}.[/mm]
Man kann auch einfach wissen, was die Varianz und der EW der Gleichverteilung ist
> d) Bestimmen Sie die Wkeit, dass f zwei verschiedene relle
> Nullstellen besitzt.
> Lösung: f(x)=0 meint
> [mm]x=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}.[/mm]
> Die beiden Lösungen sind reell und verschieden, wenn [mm]p>2\wurzel{q}.[/mm]
Ein ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") wäre hier falsch, weil die Aussage korrekt ist.
Das nützt dir aber nix!
Ein schönes Beispiel wie falsche Sprache dir die Aufgabe versaut
WENN [mm] p>2\wurzel{q} [/mm] DANN "beiden Lösungen reell" stimmt zwar, liefert dir aber nur:
$P( [mm] p>2\wurzel{q} [/mm] ) [mm] \le P(\text{ beiden Lösungen reell})$
[/mm]
Du willst aber Gleichheit, und das erhälst du nur bei einer GENAU DANN, WENN Aussage. Und
> Die beiden Lösungen sind reell und verschieden, genau dann, wenn [mm]p>2\wurzel{q}.[/mm]
Ist falsch
Simpler Fehler, nochmal drüber schauen (aber ich wollte das mal schön erklären)
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 25.03.2018 | | Autor: | Jellal |
> Nee…
> Jede Dichtefunktion über die genannten Intervalle würde
> zu 1 aufintegrieren.
> Und das Intervall kannst du so auch nicht bestimmen, weil
> nur die Länge des Intervalls entscheidend ist, dass da 1
> rauskommt, nicht die Lage.
>
> Also auch bei Integration über [0,4] würde [mm]f^X[/mm] als
> Ergebnis 1 rauswerfen… zumindest so wie du es notierst.
>
> Sauber aufschreiben müsste man das eigentlich so: Die
> gemeinsame Dichte ist gegeben durch:
> [mm]f^{(X,Y)}((x,y))=\bruch{1}{4}1_\{[-2,2]\}(x) 1_\{[0,1]\}(y)[/mm]
>
> Die Randdichten ergeben sich nun, indem man über [mm]\IR[/mm] nach
> x bzw y integriert.
>
> Dann bekommst du nämlich:
> [mm]f^Y(y) = 1_{[0,1]}(y)[/mm] und [mm]f^X(x) = \frac{1}{4}\cdot 1_{[-2,2]}(x)[/mm]
>
> Und dann ist auch sofort klar, auf welchem Intervall die
> jeweilige Dichtefunktion "lebt".
Super, vielen Dank, hier war ich mir auch absolut nicht sicher.
>
> Autsch!
> Die Randdichte hängt NIE von der jeweils anderen Variablen
> ab, was man leicht erkennt z.B. für die Randdichte von X
> gilt ja:
>
> [mm]f^X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{(X,Y)}(x,y) dy[/mm]
>
> Das Integral integriert man nun nach dy und damit steckt im
> Ergebnis kein y mehr drin!
Stimmt =(
>
> Zur Unabhängigkeit: Wann sind zwei ZV mit Dichten
> unabhängig?
Ahh, wenn das Produkt der Dichten die gemeinsame Verteilungsdichte ist! Dies ist hier gegeben.
> > Die beiden Lösungen sind reell und verschieden, wenn
> [mm]p>2\wurzel{q}.[/mm]
> Ein wäre hier falsch, weil die Aussage korrekt
> ist.
> Das nützt dir aber nix!
> Ein schönes Beispiel wie falsche Sprache dir die Aufgabe
> versaut
>
> WENN [mm]p>2\wurzel{q}[/mm] DANN "beiden Lösungen reell" stimmt
> zwar, liefert dir aber nur:
>
> [mm]P( p>2\wurzel{q} ) \le P(\text{ beiden Lösungen reell})[/mm]
Das heißt, du behauptest
[mm] x=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}
[/mm]
kann zu zwei rellen und verschiedenen x führen, wenn [mm] p>2\wurzel{q} [/mm] nicht gilt? AH! Gerade, wo ich das tippe, fällt es mir auf. Es muss ja [mm] p^{2}>4q [/mm] sein, damit fehlt mir noch die zweite Möglichkeit [mm] p<-2\wurzel{q}
[/mm]
Damit muss auf meinen Term noch das Folgende addiert werden:
[mm] \integral_{0}^{1}{dq}\integral_{-2}^{-2\wurzel{q}}{ \bruch{1}{4}dp}=\bruch{1}{6}
[/mm]
Die gesamte Wkeit ist dann 1/3.
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Hiho,
> > Zur Unabhängigkeit: Wann sind zwei ZV mit Dichten
> > unabhängig?
>
> Ahh, wenn das Produkt der Dichten die gemeinsame
> Verteilungsdichte ist! Dies ist hier gegeben.
> > > Die beiden Lösungen sind reell und verschieden, wenn
> > [mm]p>2\wurzel{q}.[/mm]
> > Ein wäre hier falsch, weil die Aussage korrekt
> > ist.
> > Das nützt dir aber nix!
> > Ein schönes Beispiel wie falsche Sprache dir die
> Aufgabe
> > versaut
> >
> > WENN [mm]p>2\wurzel{q}[/mm] DANN "beiden Lösungen reell" stimmt
> > zwar, liefert dir aber nur:
> >
> > [mm]P( p>2\wurzel{q} ) \le P(\text{ beiden Lösungen reell})[/mm]
>
> Das heißt, du behauptest
> [mm]x=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{(\bruch{p}{2})^{2}-q}[/mm]
> kann zu zwei rellen und verschiedenen x führen, wenn
> [mm]p>2\wurzel{q}[/mm] nicht gilt?
Das behaupte ich ganz dreist! 
> AH! Gerade, wo ich das tippe,
> fällt es mir auf. Es muss ja [mm]p^{2}>4q[/mm] sein, damit fehlt
> mir noch die zweite Möglichkeit [mm]p<-2\wurzel{q}[/mm]
> Damit muss auf meinen Term noch das Folgende addiert
> werden:
> [mm]\integral_{0}^{1}{dq}\integral_{-2}^{-2\wurzel{q}}{ \bruch{1}{4}dp}=\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Die gesamte Wkeit ist dann 1/3.
Sieht gut aus…
Gruß,
Gono
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Hiho,
> a)Geben Sie einen geeigneten
> Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum aus den Modellen
> Kombinationen/Permutationen mit/ohne Wiederholung an.
> Lösung: Die Personen seien unterscheidbar und können
> alle auf der gleichen Etage aussteigen.
> Geeignet ist daher [mm]\Omega:=Per_{3}^{10}(m.W.)[/mm] mit [mm]P(x\in \Omega)=\bruch{1}{|\Omega|}=\bruch{1}{10^{3}}.[/mm]
Würde ich auch so sehen…
> b) Die Zufallsvariable X gebe an, wie oft der Fahrstuhl auf
> dem Weg nach oben hält. Bestimmen Sie die Zähldichte von
> X.
> Lösung: X [mm]\in \{1,2,3\}:=K,[/mm] hängt ab von der Anzahl der
> Komponenten in Tupeln aus [mm]\Omega,[/mm] die verschieden sind.
> [mm]P^{X}(k\in K)=\bruch{|A_{k}|}{|\Omega|}[/mm]
>
> [mm]A_{1}:=\{(a_{1},a_{2},a_{3}) \in \Omega: alle a_{i} gleich \}[/mm]
>
> --> [mm]|A_{1}|=10[/mm]
>
> [mm]A_{2}:=\{(a_{1},a_{2},a_{3}) \in \Omega: zwei der a_{i} sind gleich \}[/mm]
>
> --> [mm]|A_{2}|=10*\vektor{3 \\ 2}*9=270[/mm]
>
> [mm]A_{3}:=\{(a_{1},a_{2},a_{3}) \in \Omega: alle a_{i} verschieden \}[/mm]
>
> --> [mm]|A_{3}|=10*9*8=720[/mm]
> --> [mm]P^{X}(1)=\bruch{10}{1000}=1[/mm] Prozent
> [mm]P^{X}(2)=\bruch{270}{1000}=27[/mm] Prozent
> [mm]P^{X}(3)=\bruch{720}{1000}=72[/mm] Prozent
> c) Wie groß ist die Wkeit, dass der Fahrstuhl höchstens
> bis ins 8. Obergeschoss fährt?
> Lösung:
> [mm]B:=\{(a_{1},a_{2},a_{3})\in \Omega: max_{i=1,2,3} a_{i} \le 8\}[/mm]
> [mm]|B|=|Per_{3}^{8}(m.W.)|=8^{3}=512[/mm]
> --> [mm]P(B)=\bruch{512}{1000}=51,2[/mm] Prozent
> d) Wie groß ist die Wkeit, dass mind. zwei Personen im
> gleichen Stockwerk aussteigen?
> Lösung:
> [mm]C:=\{(a_{1},a_{2},a_{3})\in \Omega: mind. zwei der a_{i} sind gleich\}[/mm]
>
> [mm]P(C)=1-P(C^{c})[/mm] mit [mm]C^{c}=\{(a_{1},a_{2},a_{3})\in \Omega: alle a_{i} verschieden\}[/mm]
>
> Damit ist [mm]P(C^{c})=P^{X}(3)[/mm] und daher P(C)=1-0,72=28
> Prozent
Oder ohne die Gegenwahrscheinlichkeit einfach direkt [mm] $P^X(1) [/mm] + [mm] P^X(2) [/mm] = 0,28$
Gruß,
Gono
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