Primzahlen und die phi-Funktio < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 So 03.10.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sei, dass
$a [mm] \ne [/mm] b$ und $a,b$ prim seien. Es soll begründet werden, dass gilt:
a) [mm] $\phi(a)=a-1$
[/mm]
b) [mm] $\phi(a^{2})=a(a-1)$
[/mm]
c) [mm] $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$ [/mm] |
Hallo,
a) [mm] $\forall [/mm] n, n [mm] \in \IN, [/mm] (n|a [mm] \rightarrow [/mm] n=1 [mm] \wedge [/mm] n=a)$ [mm] \gdw \phi(a)=(a-1)
[/mm]
b) Scheint man ja die Potenz rausnehmen zu können:
[mm] $\phi(5^{2})=5\phi(5)$ [/mm] oder [mm] $\phi(7^{4})=7^{3}\phi(7)$ [/mm]
c) [mm] $\phi(5\cdot [/mm] 7)= [mm] \phi(5)\phi(7)=4\cdot5$ [/mm]
Jetzt sind meine Fragen, ist das korrekt was ich bei a) geschrieben habe, und reichen bei b und c Beispiele als Begründung?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo
> Gegeben sei, dass
> [mm]a \ne b[/mm] und [mm]a,b[/mm] prim seien. Es soll begründet werden, dass
> gilt:
>
> a) [mm]\phi(a)=a-1[/mm]
> b) [mm]\phi(a^{2})=a(a-1)[/mm]
> c) [mm]\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> a) [mm]\forall n, n \in \IN, (n|a \rightarrow n=1 \wedge n=a)[/mm]
> [mm]\gdw \phi(a)=(a-1)[/mm]
>
> b) Scheint man ja die Potenz rausnehmen zu können:
>
> [mm]\phi(5^{2})=5\phi(5)[/mm] oder [mm]\phi(7^{4})=7^{3}\phi(7)[/mm]
>
> c) [mm]\phi(5\cdot 7)= \phi(5)\phi(7)=4\cdot5[/mm]
>
>
> Jetzt sind meine Fragen, ist das korrekt was ich bei a)
> geschrieben habe, und reichen bei b und c Beispiele als
> Begründung?
Was du bei a) geschrieben hast stimmt an sich schon. Es ist eifach für $a$ prim [mm] $\Rightarrow \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] x < a$: $ggT(x,a) = 1$.
Beispiele reichen nie aus als Beweis, das ist nicht wirklich Mathematik.
Betrachte $a$ prim. Was ändert sich bei den Teilern von $a$, wenn du $a$ quadrierst?
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 So 03.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Die Teiler sind immer Mehrfache von a? Wie kann man das formal hinschreiben?
Danke
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Hallo kushkush,
> Hallo,
>
>
> Die Teiler sind immer Mehrfache von a? Wie kann man das
> formal hinschreiben?
>
So vielleicht:
[mm]\exists \ n \in \IN \ \forall\ \lambda \in \left\{1, \ ... \ , n\right\} \subset \IN: \operatorname{ggt}\left(\lambda*a,a^2\right) \not = 1[/mm]
>
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 So 03.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
was bedeutet das [mm] $\exists$ [/mm] ? Existiert ein? Und was bedeutet das ":"?
Danke
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Hallo kushkush,
> was bedeutet das [mm]\exists[/mm] ? Existiert ein?
Ja, als Aussage: es existiert (ein)...
> Und was bedeutet
> das ":"?
Lies es als "so dass".
> Danke
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 03.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok, danke.
Dann wäre es für c)
[mm] $\exists [/mm] n [mm] \in \IN \forall \lambda \in \{1,....n\} \subset \IN:ggT(\lambda\cdot [/mm] a, [mm] ab)\ne [/mm] 1 [mm] \wedge ggT(\lambda \cdot [/mm] b, ab) [mm] \ne [/mm] 1 [mm] \gdw \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=(a-1)(b-1)$
[/mm]
so auch richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Mo 04.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Bin an einer Antwort/Hinweise immer noch interessiert, auch wenn bereits abgelaufen.
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Hallo kushkush,
> Ok, danke.
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> Dann wäre es für c)
>
> [mm]\exists n \in \IN \forall \lambda \in \{1,....n\} \subset \IN:ggT(\lambda\cdot a, ab)\ne 1 \wedge ggT(\lambda \cdot b, ab) \ne 1 \gdw \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=(a-1)(b-1)[/mm]
>
>
> so auch richtig?
Nicht ganz, da das n für a nicht unbedingt das n für b sein muss.
Besser:
[mm]\exists \ n_{1},n_{2} \in \IN \ \forall \ \lambda \in \{1,\ .... \ ,n_{1}\} \subset \IN , \ \mu \in \{1,\ ....\ ,n_{2}\} \subset \IN :ggT(\lambda\cdot a, ab)\ne 1 \wedge ggT(\mu \cdot b, ab) \ne 1[/mm]
Wenn dies noch genauer willst, dann mußt Du noch hinzufügen,
daß
[mm]ggT(\lambda\cdot a, \mu*b)=1[/mm]
Dann stimmt nämlich auch die Folgerung.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Di 05.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Dankeschön
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