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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe 1 | [mm] a_{n} [/mm] sei die n-te Primzahl.
Beweisen Sie nun: [mm] a_{n} [/mm] < [mm] 2^{2^{n}}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Beweisen Sie (für die n-te PZ):
[mm] a_{n+1} \le a_{n}^{n}+1. [/mm] |
Hallo!
Komme hier nicht recht weiter.
Hätte es mal mit vollst. Induktion probiert:
IA: [mm] a_{1} [/mm] = 2 < [mm] 2^{2^{2}} [/mm] = 16 passt.
IB: [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] 2^{2^{n+1}} [/mm] = [mm] 2^{2^{n}*2}
[/mm]
aber recht weiter komme ich nicht.
Vielleicht kann mir hier jemand helfen, oder hätte jemand ganz eine andere Methode um das zu berechnen?
für b) hab ich leider überhaupt keinen Ansatz. Hätte hier jemand eine Idee? Würde mich sehr freuen.
Danke für Eure Hilfe und Zeit!!
Mfg Sr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mi 18.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst zeigen, dass
[mm] a_{n+1}<2^{2^{n+1}}
[/mm]
Hier würde ich "von hinten" beginnen.
[mm] 2^{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] =2^{2*2^{n}}
[/mm]
[mm] =2^{2*2^{n}}
[/mm]
[mm] >2^{2^{n}}
[/mm]
kommst du jetzt erstmal weiter?
Marius
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Hallo Roli,
was dürft Ihr denn benutzen?
Tschebyschows Abschätzungen? Das Bertrandsche Postulat?
Dazu ![[]](/images/popup.gif) hier mehr.
Beide Aufgaben sind im Prinzip aber auch gelöst, wenn Du zeigen kannst, dass gilt:
[mm] \blue{a_n
Anwendung auf Aufgabe a):
[mm] a_n<2^{2^n}\quad \Rightarrow a_{n+1}<{a_n}^2<2^{2^{n+1}}=\left(2^{2^n}\right)^2
[/mm]
Bei Aufgabe b ist erst zu zeigen, dass [mm] 3=2^1+1 [/mm] ist, und ansonsten ja für n>1 gilt:
[mm] a_{n+1}<{a_n}^2<{a_n}^n+1
[/mm]
Aber für all das müsstest Du erst einmal die "blaue" Behauptung oben nachweisen, bzw. eigentlich ja nur die Abschätzung nach oben.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Roli772 |
Nein, dürfen wir noch nicht verwenden.
Aber trotzdem Danke für deine Hilfe!
Hat mir wirklich weitergeholfen : )
schönes we!
Mfg Sr
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