Primzahl p Teiler von (n^p-n) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 04.11.2004 | | Autor: | Kenshij |
Beweise durch vollständige Induktion, dass für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n gilt:
[mm] p|(n^{p}-n)
[/mm]
Ich weiß wie der Beweis geht, habe aber keine Ahnung wie ich ihn darauf anwenden kann.
Induktionsanfang und die Umformung währen schön.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Do 04.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Phillip!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Induktionsverankerung ergibt sich aus [mm] $1^{p}-1=1-1=0$ [/mm] und [mm] $\forall n\in\IN:n|0$. [/mm]
Im Induktionsschritt versuchst du nun die Behauptung, die für n gilt, für n+1 zu beweisen, erhältst also:
[mm] $(n+1)^p-(n+1)=\summe_{k=0}^{p}{\vektor{p\\ k}\cdot n^k}-(n+1)=\summe_{k=0}^{p}{\frac{p!}{k!(p-k)!}\cdot n^k}-(n+1)$.
[/mm]
Überlege dir nun, welche Summanden du betrachten musst und von welchen du schon sagen kannst, dass sie durch p teilbar sind. Versuche, für die verbleibenden deine Induktionsverankerung einzusetzen.
Viel Erfolg und liebe Grüße,
Hanno
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