Primteiler und Elementarteiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte eine Gruppe G mit der Repräsentationsmatrix
[mm] R=\pmat{ 3 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ 2 & 7 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ 4 & 8 & 16 & 16 & 20 & 24 \\ 6 & 12 & 18 & 30 & 30 & 36 \\ 8 & 16 & 24 & 32 & 49 & 48 \\ 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 70 }
[/mm]
Stelle G als Produkt zyklischer Gruppen dar. Wie sehen die Primteiler- und die Elementarteiler- Normalform aus? Ist G zyklisch? |
(i) Stelle G als Produkt zyklischer Gruppen dar:
Nach Zeilen- und Spaltenumformungen habe ich folgenden Diagonalmatrix herausbekommen:
R= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10 }
[/mm]
Ich würde jetzt sagen, dass die Darstellung als Produkt zyklischer Gruppen folgendermaßen aussieht:
[mm] G\cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/3\IZ [/mm] x [mm] \IZ/4\IZ [/mm] x [mm] \IZ/6\IZ [/mm] x [mm] \IZ/9\IZ [/mm] x [mm] \IZ/10\IZ
[/mm]
(ii) Wie sehen Primteiler und Elementarteiler Normalform aus?
An dieser Stelle habe ich ziemliche Probleme. Ich habe die Gruppenelemente aus dem ersten Ausgabenteil versucht in ihre Primfaktoren zu zerlegen und hätte dann folgendes raus für die Primteilernormalform:
[mm] (\IZ/2\IZ)^5 [/mm] x [mm] (\IZ/3\IZ)^4 [/mm] x [mm] (\IZ/5\IZ)
[/mm]
Stimmt das so?
Wie bestimme ich denn den Elementarteiler?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 28.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Sa 30.05.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Primteilernormalform stimmt.
Nun gilt ja
2 = 2
3 = 3
4 = 2*2
6 = 3*2
9 = 3*3
10 = 2*5
Jetzt nimmst du dir immer eine von den Primzahlen, bis alle aufgebraucht sind. D.h.
5 * 3 * 2 = 30
3 * 2 = 6
3 * 2 = 6
2 = 2
2 = 2
=> [mm] \IZ/30\IZ [/mm] x [mm] \IZ/6\IZ [/mm] x [mm] \IZ/6\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ
[/mm]
Das ist deine Elementarteiler-Normalenform
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