Primitivwurzel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Fr 10.12.2004 | | Autor: | cloe |
Ich habe bei folgender Aufgabe "Bestimme eine Primitivwurzel mod 9"
folgenden Lösungsweg:
Es ist | [mm] \IP_{9}| [/mm] = [mm] \phi(9) [/mm] = 6, um eine Primitivwurzel mod 9 zu bestimmen, überprüft man nacheinander für welches n [mm] \in [/mm] {1,2,4,5,7,8} gilt, dass <n mod 9> = [mm] \IP_{9} [/mm] ist, es gilt:
[mm] 2^{1} [/mm] = 2 [mm] \equiv [/mm] 2 (mod9)
[mm] 2^{2} [/mm] = 4 [mm] \equiv [/mm] 4 (mod9)
[mm] 2^{3} [/mm] = 8 [mm] \equiv [/mm] 8 (mod9)
[mm] 2^{4} [/mm] = 16 [mm] \equiv [/mm] 7 (mod9)
[mm] 2^{5} [/mm] = 32 [mm] \equiv [/mm] 5 (mod9)
[mm] 2^{6} [/mm] = 64 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod9)
Bis dahin kam ich, aber wie komme ich auf folgendes: ord(2mod9) = 6 ??
D.h. ich weiß nicht wie man auf die 6 kommt.
Es muss ja gelten <2 mod9> = [mm] \IP_{9}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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...wo Dein Problem liegt.
Hallo erstmal! 
Also, Du hast richtig erkannt, dass es 6 Zahlen sind, die relativ prim zu 9 sind... und jetzt suchst Du einen Erzeuger der Einheitengruppe.
Die 2 ist ein vielversprechender Kandidat und Du möchtest eigentlich nur noch zeigen, dass die 2 in [mm] $\IZ [/mm] / 9 [mm] \IZ$ [/mm] die Ordnung 6 hat.
Aber das hast Du bereits! Die Liste der Zweierpotenzen modulo 9, die Du aufgestellt hast, zeigt doch, dass [mm] $2^6 \equiv [/mm] 1 [mm] \; [/mm] (9)$ und [mm] $2^k \not\equiv [/mm] 1 [mm] \; [/mm] (9)$ für $k [mm] \in \{ 1, \ldots , 5\}$.
[/mm]
Und damit bist Du doch schon fertig und hast Deine primitive Wurzel gefunden.
Lars
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