Primideale + Polynomring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mi 02.06.2010 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Zeigen sie:
[mm]k[X_{1},...,X_{n}] = \bigcap_{\mathcal{P}\subseteq k[X_{1},...,X_{n}] \mbox{ prim}}^{} k[X_{1},...,X_{n}]_{\mathcal{P}} [/mm] |
Hi
auch wenn es nicht angegeben ist, dürfte k ein algebraisch abgeschlossener Körper sein.
Leider verstehe ich nicht mal die Schreibweise [mm]k[X_{1},...,X_{n}]_{\mathcal{P}}[/mm]! Was bedeutet denn das?
Und wie kann ich den Satz dann beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mi 02.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Zeigen sie:
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> [mm]k[X_{1},...,X_{n}] = \bigcap_{\mathcal{P}\subseteq k[X_{1},...,X_{n}] \mbox{ prim}}^{} k[X_{1},...,X_{n}]_{\mathcal{P}}[/mm]
>
> Hi
>
> auch wenn es nicht angegeben ist, dürfte k ein algebraisch
> abgeschlossener Körper sein.
das ist nicht noetig; irgendein Koerper reicht.
> Leider verstehe ich nicht mal die Schreibweise
> [mm]k[X_{1},...,X_{n}]_{\mathcal{P}}[/mm]! Was bedeutet denn das?
Das ist die Lokalisierung des Polynomrings [mm] $k[X_1, \dots, X_n]$ [/mm] am Primideal [mm] $\mathcal{P}$.
[/mm]
> Und wie kann ich den Satz dann beweisen?
Da der Polynomring integer ist, kann man alle Lokalisierungen in den Quotientenkoerper einbetten. Jede Lokalisierung enthaelt den Polynomring. Du musst also zeigen, dass es zu jedem Element $f [mm] \in k(X_1, \dots, X_n) \setminus k[X_1, \dots, X_n]$ [/mm] ein Primideal [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] gibt, so dass $f$ nicht in der Lokalisierung liegt.
(Schreib $f = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] mit paarweise teilerfremden Polynomen $p, q$, und nimm ein Primideal, welches mindestens einen Teiler von $q$ nicht enthaelt.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 03.06.2010 | | Autor: | algieba |
Hi Felix
Wir haben jetzt eine Lösung, die aber ein bisschen von deiner abweicht.
Der Unterschied ist in der zweiten Richtung [mm] :"\supset"
[/mm]
Sei [mm] $f=\bruch{p}{q} \in k(X_1,...,X_n) \backslash k[X_1,...,X_n]$ [/mm] mit $p,q$ teilerfremd
Sei also [mm] $q=q_1^{n_1},...,q_r^{n_r}
[/mm]
Wähle jetzt $p$ Primideal so dass ein [mm] $q_i\inp$ [/mm] liegt, also z.B. [mm] $p=(X_{k1},...,X_{kn})$ [/mm] falls nur die Variablen [mm] $X_{k1},...,X_{kn}$ [/mm] in [mm] $q_i$ [/mm] vorkommen.
Dann ist ja [mm] q\not\in$k[X_1,...,X_n]\backslash [/mm] p$
Also [mm] $f\not\in$k[X_1,...,X_n]_p=\{\bruch{m}{s} | m\ink[X_1,...,X_n,s\ink[X_1,...,X_n]\backslash p]\}$
[/mm]
du hattest geschrieben:
> ... und nimm ein Primideal, welches mindestens
> einen Teiler von [mm]q[/mm] nicht enthaelt.)
wir haben es aber genau anderstrum gemacht. wo ist der fehler???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Do 03.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir haben jetzt eine Lösung, die aber ein bisschen von
> deiner abweicht.
> Der Unterschied ist in der zweiten Richtung [mm]:"\supset"[/mm]
>
> Sei [mm]f=\bruch{p}{q} \in k(X_1,...,X_n) \backslash k[X_1,...,X_n][/mm]
> mit [mm]p,q[/mm] teilerfremd
> Sei also [mm]$q=q_1^{n_1},...,q_r^{n_r}[/mm]
> Wähle jetzt [mm]p[/mm] Primideal so dass ein [mm]q_i\inp[/mm] liegt, also
> z.B. [mm]p=(X_{k1},...,X_{kn})[/mm] falls nur die Variablen
> [mm]X_{k1},...,X_{kn}[/mm] in [mm]q_i[/mm] vorkommen.
> Dann ist ja [mm]q\not\in[/mm] [mm]k[X_1,...,X_n]\backslash p[/mm]
> Also
> [mm]$f\not\in$k[X_1,...,X_n]_p=\{\bruch{m}{s} | m\ink[X_1,...,X_n,s\ink[X_1,...,X_n]\backslash p]\}$[/mm]
sieht gut aus; die Folgerung $f [mm] \not\in k[X_1, \dots, X_n]_p$ [/mm] musst du aber noch etwas besser begruenden.
> du hattest geschrieben:
> > ... und nimm ein Primideal, welches mindestens
> > einen Teiler von [mm]q[/mm] nicht enthaelt.)
> wir haben es aber genau anderstrum gemacht. wo ist der
> fehler???
Ich hatte mich vertan, es sind ja die Elemente invertierbar, die nicht im Primideal liegen (und nicht umgekehrt).
LG Felix
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