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| Aufgabe | | Sei R ein Ring , dann ist [mm] $\wurzel{0}$ [/mm] = [mm] $\bigcap_{p \ Primideale}p$. [/mm] |
Hallo,
die eine Richtung ist klar, für die andere haben wir als Tipp das Lemma von Zorn bekommen.
Vielleicht etwa so?
$x [mm] \in R\setminus \wurzel(0)$
[/mm]
[mm] $\Sigma [/mm] := [mm] \{ I \ Ideale \ in \ R \ mit\ x^{k} \notin I \ \forall \ k\}$
[/mm]
Die Inklusion $I [mm] \subset [/mm] J$ definiert eine Halbordnung auf [mm] $\Sigma$, $\wurzel(0) \in \Sigma$ [/mm] und jede Kette hat als obere Schranke die Vereinigung ihrer Elemente (ja das gibt wieder ein Ideal... ^^).
Nach dem Lemma von Zorn gibt es dann ein maximales Element $P [mm] \in \Sigma$. [/mm] Gibt es jetzt eine Möglichkeit zu zeigen, dass P prim ist, dann würde nähmlich folgen, dass
[mm] $x\notin\wurzel(0) \Rightarrow x\notin\bigcap_{p \ Primideale}p$. [/mm]
Also müsste ich jetzt entweder zeigen, dass R/P Integritätsbereich ist, oder eben direkt P prim und da fangen die Probleme an...
vielleicht hat ja jemand eine Idee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Di 24.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R ein Ring , dann ist [mm]\wurzel{0}[/mm] = [mm]\bigcap_{p \ Primideale}p[/mm].
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> Hallo,
>
> die eine Richtung ist klar, für die andere haben wir als
> Tipp das Lemma von Zorn bekommen.
> Vielleicht etwa so?
>
> [mm]x \in R\setminus \wurzel(0)[/mm]
> [mm]\Sigma := \{ I \ Ideale \ in \ R \ mit\ x^{k} \notin I \ \forall \ k\}[/mm]
>
> Die Inklusion [mm]I \subset J[/mm] definiert eine Halbordnung auf
> [mm]\Sigma[/mm], [mm]\wurzel(0) \in \Sigma[/mm] und jede Kette hat als obere
> Schranke die Vereinigung ihrer Elemente (ja das gibt wieder
> ein Ideal... ^^).
> Nach dem Lemma von Zorn gibt es dann ein maximales Element
> [mm]P \in \Sigma[/mm]. Gibt es jetzt eine Möglichkeit zu zeigen,
> dass P prim ist, dann würde nähmlich folgen, dass
> [mm]x\notin\wurzel(0) \Rightarrow x\notin\bigcap_{p \ Primideale}p[/mm].
> Also müsste ich jetzt entweder zeigen, dass R/P
> Integritätsbereich ist, oder eben direkt P prim und da
> fangen die Probleme an...
EDIT: Fehler korrigiert
Das ist der richtige Weg. Nimm doch mal an, du haettest $a, b [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] [red]$\red{a b \in P}$ [/mm] und [mm] $\red{a, b \not\in P}$[/red]. [/mm] Dann sind [mm] $\langle [/mm] a, P [mm] \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle [/mm] b, P [mm] \rangle$ [/mm] zwei Ideale echt groesser als $P$: da $P$ maximal in [mm] $\Sigma$ [/mm] ist sind sie damit nicht in [mm] $\Sigma$, [/mm] womit es [mm] $k_1, k_2 \in \IN$, $y_1, y_2 \in [/mm] R$ und [mm] $p_1, p_2 \in [/mm] P$ gibt mit [mm] $x^{k_1} [/mm] = a [mm] y_1 [/mm] + [mm] p_1$, $x^{k_2} [/mm] = b [mm] y_2 [/mm] + [mm] p_2$.
[/mm]
Jetzt rechne doch mal [mm] $x^{k_1} x^{k_2}$ [/mm] aus.
LG Felix
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Hallo Felix,
erst mal danke für die Antwort, mir ist die Schreibweise <a, P> nicht ganz geläufig. Ist das das von a und P erzeugte Ideal, also das kleinste Ideal, was <a> und P enthält?
Wenn ich <a, P> richtig verstanden habe kann <a, P> nicht in [mm] $\Sigma$ [/mm] liegen, also muss [mm] $x^{k1} \in [/mm] <a, P>$ und [mm] $x^{k2} \in [/mm] <b, P>$ für k1, k2 geeignet.
wenn ich das ausrechne kommt dann mit der Idealeigenschaft von P heraus,
aby1y2 + p' wobei p' irgendein Element aus P ist.
Da stecke ich schon wieder fest.... wie willst Du überhaupt schließen, die Umkehrung von $a*b [mm] \in [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \vee [/mm] b [mm] \in [/mm] P$ wäre doch
$a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \notin [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] a*b [mm] \notin [/mm] P$
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Mi 25.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> erst mal danke für die Antwort, mir ist die Schreibweise
> <a, P> nicht ganz geläufig. Ist das das von a und P
> erzeugte Ideal, also das kleinste Ideal, was <a> und P
> enthält?
Genau das ist damit gemeint :) Manche schreiben auch $(a, P)$ oder $a R + P$ dafuer.
> Wenn ich <a, P> richtig verstanden habe kann <a, P> nicht
> in [mm]\Sigma[/mm] liegen, also muss [mm]x^{k1} \in [/mm] und [mm]x^{k2} \in [/mm]
> für k1, k2 geeignet.
Genau.
> wenn ich das ausrechne kommt dann mit der Idealeigenschaft
> von P heraus,
> aby1y2 + p' wobei p' irgendein Element aus P ist.
> Da stecke ich schon wieder fest....
Du weisst doch, dass $a b [mm] \in [/mm] P$ ist.
> wie willst Du
> überhaupt schließen, die Umkehrung von [mm]a*b \in P \Rightarrow a \vee b \in P[/mm]
> wäre doch
> [mm]a \wedge b \notin P \Rightarrow a*b \notin P[/mm]
Ich will einen Widerspruch  Daraus folgt, dass es keine $a, b [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus [/mm] P$ mit $a b [mm] \in [/mm] P$ gibt, womit $P$ ein Primideal ist.
LG Felix
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Hallo,
ich habe es immer noch nicht ganz verstanden.
Wir hatten doch $ab [mm] \notin [/mm] P) angenommen!
[mm] $x^{k1}*x^{k2}$ [/mm] müssen im Schnitt von <a, P> und <b, P> = P liegen, weil beides Ideale sind. also muss aby1y2 in P liegen. warum muss dann ab aus P sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Mi 25.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe es immer noch nicht ganz verstanden.
> Wir hatten doch ab [mm]\notin[/mm] P) angenommen!
Oh, da hab ich mich wohl vertan: ich meinte $a b [mm] \in [/mm] P$, aber $a, b [mm] \not\in [/mm] P$! Diesen Fall will man ja ausschliessen, damit es ein Primideal ist.
Ist es damit klarer?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 25.11.2009 | | Autor: | kunzmaniac |
ja, danke nochmal.
ich glaube der Groschen ist gefallen.
ich war ja bei
aby1y2 + p'
jetzt weiß ich, dass muss in dem Ideal (ab, P) liegen, das kann aber nicht in [mm] $\Sigma$ [/mm] liegen, da es ja eine Potenz von x enthält. Also ab nicht in P, da sonst P = (ab, P). fertig.
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