Primideal, Urbil, Bild,ordnung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mi 18.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es seien R und S zwei kommutative Ringe und [mm] \phi:R \to [/mm] S ein Ringepimorphismus. Beweisen SIe:
a) Ist P ein Primideal von R mit [mm] ker(\phi)\subseteq [/mm] P, so ist [mm] \phi(P) [/mm] ein Primideal von S.
b) Ist Q ein Primideal von S, so ist [mm] \phi^{-1} [/mm] (Q) ein Primideal von P und ker [mm] \phi \subseteq \phi^{-1} [/mm] (Q)
c) Es gibt eine ordnungserhaltende Bijektion zwischen den Primidealen von R, die ker [mm] \phi [/mm] enthalten und den Primidealen von S. |
Hallo,
Also erstens Mal ist da doch ein Schreibfehler:
Man meint bei b) sicher [mm] \phi^{-1} [/mm] (Q) ein Primideal von R oder?
a)
Dass das Bild von einen Ideal unter einen surjektiven Ringhomomorphismus wieder ein Ideal ist hab ich schon früher gezeigt.
-) [mm] \phi(P)\not=S
[/mm]
Ang [mm] 1_s \in \phi(P) [/mm] d.h. [mm] \phi^{-1}(1_s) \in [/mm] P
[mm] \phi^{-1}(1_s)=\{1_r,..\}(Da [/mm] ein Epimorphismus 1 auf 1 abbildet) aber [mm] 1_R \not\in [/mm] P da P Primideal. Wid.
D.h. [mm] 1_s \not\in \phi(P) \Rightarrow \phi(p)\not=S
[/mm]
-)ab [mm] \in \phi(P) [/mm] mit a,b [mm] \in [/mm] S
Aus der Surjektivität folgt [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in [/mm] R: [mm] \phi(x)=a, \phi(y)=b
[/mm]
[mm] \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)=a*b\in\phi(P)
[/mm]
Frage: Wie kann ich hier nun folgern: [mm] \Rightarrow [/mm] xy [mm] \in [/mm] P? Brauche ich hier vlt.: [mm] ker(\phi)\subseteq [/mm] P ?
Wenn dann argumentiere ich weiter da P ein Primideal von [mm] x\in [/mm] P [mm] \vee [/mm] y [mm] \in [/mm] P [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in \phi(P) \vee [/mm] b [mm] \in \phi(P)
[/mm]
2)
Dass das Urbild eines Ideals unter einen Ringhomomorphismus wieder ein Ideal ist wurde auch schon früher gezeigt.
-) [mm] \phi^{-1} (Q)\not=1
[/mm]
Angenommen [mm] 1_r \in \phi^{-1} [/mm] (Q) dann [mm] 1_r=\phi1{-1} [/mm] (q) mit q [mm] \in [/mm] Q
[mm] \phi(1_R)=w. [/mm] In Epimorphismus gilt [mm] \phi(1_R)=1_s [/mm] aber [mm] 1_s \not= [/mm] Q (da Q Primideal) Wid.
-)ab [mm] \in \phi^{-1} [/mm] (Q) mit a,b [mm] \in [/mm] R
[mm] \phi(a)*\phi(b) \phi(ab) \in [/mm] Q [mm] \Rightarrow \phi(a)\phi(b) \in [/mm] Q
Da Q Primideal folgt [mm] \phi(a) \in [/mm] Q [mm] \vee \phi(b) \in [/mm] Q.
Daraus folgt a [mm] \in \phi^{-1} [/mm] (Q) [mm] \vee [/mm] b [mm] \in \phi^{-1} [/mm] (Q)
[mm] ZZ.:ker(\phi) \subseteq \phi^{-1} [/mm] (Q)
Sei r [mm] \in ker(\phi)
[/mm]
[mm] \phi(r)=0 \in [/mm] Q [mm] \Rightarrow [/mm] r [mm] \in \phi^{-1} [/mm] (Q)
3)
[mm] \phi:A:=\{I|I \mbox{Primideal in R },ker\phi \subseteq I\} \to \phi(A)
[/mm]
Nach a) Ist I [mm] \subseteq [/mm] R ein Primideal, welches den Kern von [mm] \phi [/mm] enthält. Dann ist J := [mm] \phi(I) [/mm] wieder ein Primideal.
Nach b) Ist umgekehrt ein Primideal [mm] \overline{J} [/mm] im Bild von [mm] \phi [/mm] gegeben, dann gibt es ein Primideal [mm] \overline{I} [/mm] in R , welches den Kern von [mm] \phi [/mm] enthält und das auf [mm] \overline{J} [/mm] abgebildet wird.
Wie zeig ich die Injektivität?
Den Begriff der Ordnung hatte ich bis jetzt nur bei Gruppen. Da ist ein Gruppenhomomorphismus ordnungserhaltend wenn er injektiv ist.
Ich weiß nicht was es in dem Zusammenhang bedeutet.
LG,
sissi
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> Es seien R und S zwei kommutative Ringe und [mm]\phi:R \to[/mm] S
> ein Ringepimorphismus. Beweisen SIe:
> a) Ist P ein Primideal von R mit [mm]ker(\phi)\subseteq[/mm] P, so
> ist [mm]\phi(P)[/mm] ein Primideal von S.
> b) Ist Q ein Primideal von S, so ist [mm]\phi^{-1}[/mm] (Q) ein
> Primideal von P und ker [mm]\phi \subseteq \phi^{-1}[/mm] (Q)
> c) Es gibt eine ordnungserhaltende Bijektion zwischen den
> Primidealen von R, die ker [mm]\phi[/mm] enthalten und den
> Primidealen von S.
Ich rate einfach mal, dass der Aufgabensteller keinen Epimorphismus, sondern einen surjektiven Homomorphismus meint. Epimorphismen sind diejenigen Homomorphismen, für die $ [mm] S\longrightarrow S\otimes_RS [/mm] $ surjektiv ist, das zu beweisen ist z.B. Aufgabe I.11.13 in Borceux, Handbook of Categorical Algebra.
> Hallo,
> Also erstens Mal ist da doch ein Schreibfehler:
> Man meint bei b) sicher [mm]\phi^{-1}[/mm] (Q) ein Primideal von R
> oder?
Ja.
> a)
> Dass das Bild von einen Ideal unter einen surjektiven
> Ringhomomorphismus wieder ein Ideal ist hab ich schon
> früher gezeigt.
>  [mm]\phi(P)\not=S[/mm]
> Ang [mm]1_s \in \phi(P)[/mm] d.h. [mm]\phi^{-1}(1_s) \in[/mm] P
> [mm]\phi^{-1}(1_s)=\{1_r,..\}(Da[/mm] ein Epimorphismus 1 auf 1
> abbildet) aber [mm]1_R \not\in[/mm] P da P Primideal. Wid.
> D.h. [mm]1_s \not\in \phi(P) \Rightarrow \phi(p)\not=S[/mm]
>
> -)ab [mm]\in \phi(P)[/mm] mit a,b [mm]\in[/mm] S
> Aus der Surjektivität folgt [mm]\exists[/mm] x,y [mm]\in[/mm] R: [mm]\phi(x)=a, \phi(y)=b[/mm]
>
> [mm]\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)=a*b\in\phi(P)[/mm]
> Frage: Wie kann ich hier nun folgern: [mm]\Rightarrow[/mm] xy [mm]\in[/mm]
> P? Brauche ich hier vlt.: [mm]ker(\phi)\subseteq[/mm] P ?
> Wenn dann argumentiere ich weiter da P ein Primideal von
> [mm]x\in[/mm] P [mm]\vee[/mm] y [mm]\in[/mm] P [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in \phi(P) \vee[/mm] b [mm]\in \phi(P)[/mm]
Die wichtigste Lektion der Algebra sollte sein:
Habe Mut, dich der Homomorphismen zu bedienen!
Homomorphiesatz: Für einen surjektiven Homomorphismus [mm] $X\longrightarrow [/mm] Y$ gilt [mm] $Y\cong X/\ker(X\longrightarrow [/mm] Y)$.
Wenden wir dies auf [mm] $R\longrightarrow S\longrightarrow S/\phi(P)$ [/mm] an, so sehen wir [mm] $S/\phi(P)\cong R/\ker(R\longrightarrow S\longrightarrow S/\phi(P))=R/P$. [/mm] Also ist [mm] $S/\phi(P)$ [/mm] genau dann Integritätsbereich, wenn $R/P$ es ist.
> 2)
> Dass das Urbild eines Ideals unter einen Ringhomomorphismus
> wieder ein Ideal ist wurde auch schon früher gezeigt.
> [mm]\phi^{-1} (Q)\not=1[/mm]
> Angenommen [mm]1_r \in \phi^{-1}[/mm] (Q)
> dann [mm]1_r=\phi1{-1}[/mm] (q) mit q [mm]\in[/mm] Q
> [mm]\phi(1_R)=w.[/mm] In Epimorphismus gilt [mm]\phi(1_R)=1_s[/mm] aber [mm]1_s \not=[/mm]
> Q (da Q Primideal) Wid.
>
> -)ab [mm]\in \phi^{-1}[/mm] (Q) mit a,b [mm]\in[/mm] R
> [mm]\phi(a)*\phi(b) \phi(ab) \in[/mm] Q [mm]\Rightarrow \phi(a)\phi(b) \in[/mm]
> Q
> Da Q Primideal folgt [mm]\phi(a) \in[/mm] Q [mm]\vee \phi(b) \in[/mm] Q.
> Daraus folgt a [mm]\in \phi^{-1}[/mm] (Q) [mm]\vee[/mm] b [mm]\in \phi^{-1}[/mm] (Q)
>
> [mm]ZZ.:ker(\phi) \subseteq \phi^{-1}[/mm] (Q)
> Sei r [mm]\in ker(\phi)[/mm]
> [mm]\phi(r)=0 \in[/mm] Q [mm]\Rightarrow[/mm] r [mm]\in \phi^{-1}[/mm]
> (Q)
Wenden wir den Homomorphiesatz auf [mm] $R\longrightarrow S\longrightarrow [/mm] S/Q$ an. Es gilt [mm] $S/Q\cong R/\ker(R\longrightarrow S\longrightarrow S/Q)=R/\phi^{-1}Q$. [/mm] Also ist [mm] $R/\phi^{-1}Q$ [/mm] genau dann ein Integritätsbereich, wenn $S/Q$ es ist.
> 3)
> [mm]\phi:A:=\{I|I \mbox{Primideal in R },ker\phi \subseteq I\} \to \phi(A)[/mm]
>
> Nach a) Ist I [mm]\subseteq[/mm] R ein Primideal, welches den Kern
> von [mm]\phi[/mm] enthält. Dann ist J := [mm]\phi(I)[/mm] wieder ein
> Primideal.
> Nach b) Ist umgekehrt ein Primideal [mm]\overline{J}[/mm] im Bild
> von [mm]\phi[/mm] gegeben, dann gibt es ein Primideal [mm]\overline{I}[/mm]
> in R , welches den Kern von [mm]\phi[/mm] enthält und das auf
> [mm]\overline{J}[/mm] abgebildet wird.
> Wie zeig ich die Injektivität?
> Den Begriff der Ordnung hatte ich bis jetzt nur bei
> Gruppen. Da ist ein Gruppenhomomorphismus ordnungserhaltend
> wenn er injektiv ist.
> Ich weiß nicht was es in dem Zusammenhang bedeutet.
Es geht um die Ordnungsrelation [mm] $\subseteq$. [/mm] Unsere Bijektion $f$ heißt ordnungserhaltend, wenn [mm] $X\subseteq Y\implies f(X)\subseteq [/mm] f(Y)$.
Wir sollten uns lieber Überlegen: Die Abbildung
(Menge der Ideale von R, welche [mm] $\ker\phi$ [/mm] enthalten) [mm] $\longrightarrow$ [/mm] (Menge der Ideale von $S$), [mm] $I\longmapsto \phi(I)$
[/mm]
ist bijektiv mit Umkehrabbildung [mm] $J\longmapsto\phi^{-1}(J)$. [/mm]
(Die Angabe einer Umkehrabbildung genügt, um Bijektivität zu beweisen.)
Die Aufgabenteile a) und b) zeigen dann, dass man die Abbildungen auf die Menge der Primideale einschränken kann, die Eigenschaft, dass sie invers zueinander sind, bleibt natürlich erhalten. Die Aussage über allgemeine Ideale ist manchmal als Ideal Correspondence Theorem bekannt, auch wenn sie den Namen "Satz" kaum verdient und auch in sämtlichen anderen algebraischen Strukturen gilt, z.B. für Untergruppen und Gruppen. Sie ist ziemlich trivial, aber auch ziemlich nützlich.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Do 19.02.2015 | | Autor: | sissile |
> Die wichtigste Lektion der Algebra sollte sein:
>
> Habe Mut, dich der Homomorphismen zu bedienen!
>
> Homomorphiesatz: Für einen surjektiven Homomorphismus
> [mm]X\longrightarrow Y[/mm] gilt [mm]Y\cong X/\ker(X\longrightarrow Y)[/mm].
>
> Wenden wir dies auf [mm]R\longrightarrow S\longrightarrow S/\phi(P)[/mm]
> an, so sehen wir [mm]S/\phi(P)\cong R/\ker(R\longrightarrow S\longrightarrow S/\phi(P))=R/P[/mm].
> Also ist [mm]S/\phi(P)[/mm] genau dann Integritätsbereich, wenn [mm]R/P[/mm]
> es ist.
Sehr gute Idee!
Bevor ich mich zu 3) genauer wende.
Ein Problem was ich leider erst jetzt sehe ist, dass wir in der Vorlesung den Satz (P Primideal [mm] \gdw [/mm] R/P Integritätsbereich) bewiesen haben unter der Voraussetzung, dass R ein kommutativer Ring mit [mm] 1(\not=0) [/mm] ist. Hier haben wir aber nicht die Voraussetzung, dass R,S eine Eins haben...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Do 19.02.2015 | | Autor: | hippias |
Wenn Du Dir den Beweis der Aussage ansiehst, dann wirst Du erkennen, dass die Existenz einer $1$ gar keine Rolle spielt. Ersetze den Begriif Integritaetsbereich durch nullteilerfreier Ring.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Do 19.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Sei R ein kommutativer Ring
(i) P ist Primideal
(ii) R/P Ist nullteilerfreier Ring
Es ist klar, dass (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) im Beweis gleichbleibt.
Aber was ist in der Richtung (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i) mit [mm] P\not= [/mm] R ist (das haben wir mit dem Einselement gemacht, aber da R/P keine Eins zu haben braucht frage ich mich wie man das ohne Einselement zeigt ?
Wenn P=R ist dann wäre R/P nämlich der Nullring und somit auch ein nullteilerfreier Ring.
LG,
sissi
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Ja, den Nullring muss man natürlich ausschließen. Aber wenn wir unsere Projektion $ R/to R/P $ mit $ f $ bezeichnen, ist doch $ fx=0$ einfach eine Umformulierung von $ [mm] x\in [/mm] P $. Somit ist $ [mm] xy\in P\implies x\in [/mm] P $ oder $ [mm] y\in [/mm] P $ eine Umformulierung von $ [mm] fx\cdot fy=0\implies [/mm] fx=0$ oder $ fy=0$. Wirklich zu beweisen gibt es hier überhaupt nichts.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 19.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Da muss ich nochmal nachfragen:
Aber wir haben doch nicht die Gewissheit, dass [mm] S/\phi(P) [/mm] nicht der Nullring ist? Wie kannst du dann diesen Fall einfach ausschließen?
LG,
sissi
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Wir wissen, dass $ [mm] S/\phi [/mm] P $ isomorph zu $ R /P $ ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Do 19.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Meine Überlegungen zu 3)
[mm] P_R=\{\mbox{Primideale von R die } kern \phi \mbox{ enthalten}\}
[/mm]
[mm] P_S=\{\mbox{Primideale von S}\}
[/mm]
[mm] \phi: P_R \to P_s [/mm] mit [mm] I\mapsto \phi(I)=\{\phi(i)|i\in I\}
[/mm]
nach a) ist die Abbildung wohldefiniert und ein surjektiver Ringhomomorphismus nach Voraussetzung.
[mm] \phi^{-1}: P_s \to P_r [/mm] mit J [mm] \mapsto \phi^{-1}(J)=\{i\in I| \phi(i)\in J\}
[/mm]
nach b) ist die Abbildung wohldefniert
Die Abbildungen sind invers zueinander:
Sei I [mm] \in P_R: [/mm] I [mm] \subseteq \phi^{-1} (\phi(I)) [/mm] klar
[mm] x\in \phi^{-1}(\phi(I)) \Rightarrow \phi(x) \in \phi(I) \Rightarrow \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I: [mm] \phi(x)=\phi(i) \Rightarrow \phi(x)-\ph(i)=0 \Rightarrow \phi(x-i)=0 [/mm] (Da [mm] \phi [/mm] laut angabe ein Homomorphismus ist)
D.h. l=x-i [mm] \in ker(\phi) \subseteq [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] x=l+i [mm] \in [/mm] I
Und für J [mm] \in P_s: \phi (\phi^{-1}(J))=J [/mm] klar weil [mm] \phi [/mm] nach Angabe surjektiv ist.
Jetzt stecke ich noch bei Ordnungserhaltend fest, wie ich das zeige...Hättest du da noch einen Tipp?
LG,
sissi
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Weshalb steckst du denn fest? $ [mm] I\subseteq I'\implies\phi I\subseteq \phi [/mm] I'$ und $ [mm] J\subseteq J'\implies\phi^{-1} J\subseteq\phi^{-1} [/mm] J'$, das ist doch beides leicht einzusehen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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