Primideal Quotientenring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Do 20.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $R=\IZ[w] [/mm] = [mm] \IZ [/mm] + [mm] \IZ [/mm] w $ mit $w= [mm] \sqrt{-2011}$ [/mm]
a) Sei $n [mm] \in \IN$. [/mm] Zeige, dass $|R/nR| = [mm] n^{2}$
[/mm]
b) Sei [mm] $\{0\} \ne [/mm] I $ Ideal von $R$. Zeige, dass $|R/I| < [mm] \infty$ [/mm]
c) Zeige, dass jedes Primideal $I [mm] \ne \{0\}$ [/mm] von $R$ maximal ist. |
Hallo!
Sei [mm] $R=\IZ[w]= \IZ+\IZ [/mm] w$ mit $w= [mm] \sqrt{-2011}$
[/mm]
a) Behauptung: Ist [mm] $n\in \IN$, [/mm] dann $|R/nR| = [mm] n^{2}$ [/mm]
Beweis:
Es ist [mm] $|\IZ [/mm] / [mm] n\IZ [/mm] | = n$. Auch ist mit [mm] $R=\IZ[x]:$
[/mm]
$R/nR = [mm] \IZ[x]/n\IZ[x] [/mm] = [mm] (\IZ/ n\IZ) [/mm] [x]$ und damit $|R/nR| = [mm] |(\IZ/n\IZ [/mm] [w]|; [mm] R=\IZ[w]$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |(\IZ/n\IZ) [/mm] [w]| = | [mm] \{ a+bw / a,b \in \IZ/n\IZ \} [/mm] | = [mm] n\cdot [/mm] n = [mm] n^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |R/nR|=n^{2}$
[/mm]
b) Behauptung: Mit [mm] $\{0\} \ne [/mm] I $ Ideal von R ist $|R/I| < [mm] \infty$
[/mm]
Beweis: Es ist $I [mm] \ne \{0\}$ [/mm] also [mm] $\exists [/mm] z [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \in [/mm] I$. Sei $z= a+bw [mm] \in [/mm] I, [mm] z_{1} [/mm] = a-bw [mm] \in [/mm] R$. Dann ist [mm] $zz_{1} [/mm] = [mm] a^{2}+2011b^{2} [/mm] = n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \in [/mm] I$. Mit $n [mm] \in [/mm] I \ [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R$ [mm] $\Rightarrow [/mm] n [mm] \cdot [/mm] r [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] nR [mm] \subset [/mm] I $.
Es folgt [mm] $r_{1}+nR [/mm] = [mm] r_{2}+ [/mm] nR [mm] \Rightarrow r_{1}-r_{2} \in [/mm] nR [mm] \subset [/mm] I [mm] \Rightarrow r_{1}-r_{2} \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] \forall r_{1},r_{2} \in [/mm] R, [mm] r_{1}+I=r_{2}+I$
[/mm]
und damit : $|I| [mm] \ge [/mm] |nR| [mm] \Rightarrow [/mm] |R/nR| [mm] \ge [/mm] |R/I|$. Mit $|R/nR| = [mm] n^{2} \Rightarrow [/mm] |R/I| [mm] \le n^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] |R/I| < [mm] \infty [/mm] \ [mm] \forall [/mm] I [mm] \ne \{0\}$
[/mm]
c) Behauptung: Jedes Primideal [mm] $I\ne \{0\}$ [/mm] von R ist maximal.
Beweis: Sei $I [mm] \ne \{0\} [/mm] $ Dann ist $R/I$ ein Integritätsbereich. Da $R/I$ endlich [mm] $\forall I\ne \{0\}$. [/mm] Damit ist $R/I$ ein endlicher Integritätsbereich und damit ein Körper.
Ist $R/I$ ein Körper, dann ist ist $I$ maximal.
Wäre sehr froh wenn jemand drüberschaut und mir sagt ob so in Ordnung ist!
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Sa 22.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]R=\IZ[w] = \IZ + \IZ w[/mm] mit [mm]w= \sqrt{-2011}[/mm]
>
> a) Sei [mm]n \in \IN[/mm]. Zeige, dass [mm]|R/nR| = n^{2}[/mm]
>
> b) Sei [mm]\{0\} \ne I[/mm] Ideal von [mm]R[/mm]. Zeige, dass [mm]|R/I| < \infty[/mm]
>
> c) Zeige, dass jedes Primideal [mm]I \ne \{0\}[/mm] von [mm]R[/mm] maximal
> ist.
> Hallo!
>
> Sei [mm]R=\IZ[w]= \IZ+\IZ w[/mm] mit [mm]w= \sqrt{-2011}[/mm]
>
> a) Behauptung: Ist [mm]n\in \IN[/mm], dann [mm]|R/nR| = n^{2}[/mm]
>
> Beweis:
>
> Es ist [mm]|\IZ / n\IZ | = n[/mm]. Auch ist mit [mm]R=\IZ[x]:[/mm]
>
> [mm]R/nR = \IZ[x]/n\IZ[x] = (\IZ/ n\IZ) [x][/mm] und
Soweit ok, aber $R$ ist hier nicht [mm] $\IZ[x]$, [/mm] sondern [mm] $\IZ[x]/(x^2 [/mm] + 2011)$. Du solltest den gleichen Buchstaben (hier: $R$) nicht doppelt vergeben.
> damit [mm]|R/nR| = |(\IZ/n\IZ [w]|; R=\IZ[w][/mm]
Das ergibt jetzt keinen Sinn mehr, so wie du es aufgeschrieben hast.
Du willst vermutlich die Idealkorrespondenz auf [mm] $\IZ[x] \to \IZ[x]/(n) [/mm] = [mm] (\IZ/n\IZ)[x]$ [/mm] anwenden und $R = [mm] \IZ[x] [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] + 2011)$ verwenden. Daraus und mit dem dritten Isomorphiesatz folgt [mm] $\IZ[x]/(n, x^2 [/mm] + 2011) [mm] \cong (\IZ/n\IZ)[x]/(x^2 [/mm] + 2011)$, und es ist [mm] $\IZ[x]/(n, x^2 [/mm] + 2011) [mm] \cong [/mm] R/n R$.
> [mm]\Rightarrow |(\IZ/n\IZ) [w]| = | \{ a+bw / a,b \in \IZ/n\IZ \} | = n\cdot n = n^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |R/nR|=n^{2}[/mm]
>
> b) Behauptung: Mit [mm]\{0\} \ne I[/mm] Ideal von R ist [mm]|R/I| < \infty[/mm]
>
> Beweis: Es ist [mm]I \ne \{0\}[/mm] also [mm]\exists z \ne 0 \in I[/mm]. Sei
> [mm]z= a+bw \in I, z_{1} = a-bw \in R[/mm]. Dann ist [mm]zz_{1} = a^{2}+2011b^{2} = n \in \IN, n \in I[/mm].
Du willst $n$ so definieren. Also schreib es auch so! Hier sieht es so aus als gaeb es $n$ schon vorher, und man fragt sich "was zum Teufel ist $n$?!".
> Mit [mm]n \in I \ \forall r \in R[/mm] [mm]\Rightarrow n \cdot r \in I \Rightarrow nR \subset I [/mm].
>
> Es folgt [mm]r_{1}+nR = r_{2}+ nR \Rightarrow r_{1}-r_{2} \in nR \subset I \Rightarrow r_{1}-r_{2} \in I \Rightarrow$
Soweit ok (wenn auch zu umstaendlich), aber:
> $\forall r_{1},r_{2} \in R, r_{1}+I=r_{2}+I[/mm]
Diese Aussage ist Quark. In dem Fall waer $I = R$, was nicht der Fall ist.
Du willst wohl sagen: aus [mm] $r_1 [/mm] + n R = [mm] r_2 [/mm] + n R$ folgt [mm] $r_1 [/mm] + I = [mm] r_2 [/mm] + I$.
Das folgt aber schon direkt aus $n [mm] \in [/mm] I$ bzw. aus $n R [mm] \subseteq [/mm] I$.
> und damit : [mm]|I| \ge |nR| \Rightarrow |R/nR| \ge |R/I|[/mm]. Mit
Das geht so nicht. $|I|$ und $|nR|$ sind beide abzaehlbar unendlich. Daraus kannst du jedoch keinerlei Aussage ueber $|R/nR|$ im Vergleich zu $|R/I|$ herleiten.
Zeige einfach, dass es eine surjektive Abbildung $R/nR [mm] \to [/mm] R/I$ gibt. Daraus folgt die Behauptung.
> [mm]|R/nR| = n^{2} \Rightarrow |R/I| \le n^{2}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow |R/I| < \infty \ \forall I \ne \{0\}[/mm]
>
>
>
>
> c) Behauptung: Jedes Primideal [mm]I\ne \{0\}[/mm] von R ist
> maximal.
>
> Beweis: Sei [mm]I \ne \{0\}[/mm] Dann ist [mm]R/I[/mm] ein
> Integritätsbereich. Da [mm]R/I[/mm] endlich [mm]\forall I\ne \{0\}[/mm].
> Damit ist [mm]R/I[/mm] ein endlicher Integritätsbereich und damit
> ein Körper.
>
> Ist [mm]R/I[/mm] ein Körper, dann ist ist [mm]I[/mm] maximal.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mo 24.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
Ich danke dir!
Gruss
kushkush
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