Primelemente in Lokalisierung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei R ein Integritätsring, S [mm] \subset [/mm] R eine multiplikative Teilmenge und [mm] p\in [/mm] R ein Primelement. Zeigen Sie, dass der Bruch [mm] \bruch{p}{1}\in S^{-1}R [/mm] entweder invertierbar oder prim ist. |
Ich dachte, dass alle Elemente der Lokalisierung invertierbar sind...
Also nehme ich an, dass ich ein nicht invertierbares Element habe. Aber ich sehe nicht, wie ich davon auf die Eigenschaft prim zu sein kommen soll...
Kann mir jemand nen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R ein Integritätsring, S [mm]\subset[/mm] R eine multiplikative
> Teilmenge und [mm]p\in[/mm] R ein Primelement. Zeigen Sie, dass der
> Bruch [mm]\bruch{p}{1}\in S^{-1}R[/mm] entweder invertierbar oder
> prim ist.
> Ich dachte, dass alle Elemente der Lokalisierung
> invertierbar sind...
> Also nehme ich an, dass ich ein nicht invertierbares
> Element habe. Aber ich sehe nicht, wie ich davon auf die
> Eigenschaft prim zu sein kommen soll...
Zeige zuerst: Teilt $p$ ein Element aus $s$, so ist [mm] $\frac{p}{1}$ [/mm] invertierbar.
Dann nimmst du an, dass [mm] $\frac{p}{1}$ [/mm] nicht invertierbar ist. Seien [mm] $\frac{f}{g}, \frac{\hat{f}}{\hat{g}} \in S^{-1} [/mm] R$ gegeben mit [mm] $\frac{p}{1} \mid \frac{f}{g} \frac{\hat{f}}{\hat{g}}$. [/mm] Dann gibt es [mm] $\frac{\tilde{f}}{\tilde{g}} \in S^{-1}R$ [/mm] mit [mm] $\frac{p}{1} \cdot \frac{\tilde{f}}{\tilde{g}} [/mm] = [mm] \frac{f}{g} \frac{\hat{f}}{\hat{g}}$.
[/mm]
Daraus erhaelst du nun eine Gleichung in $R$. Jetzt nutzt du aus, dass $p$ in $R$ prim ist (und das was du zuerst zeigen solltest).
LG Felix
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Hmmm...
Also wenn [mm] p\vert s\in [/mm] S, dann [mm] \bruch{s}{p}\in [/mm] S, aber da es auch in [mm] S^{-1}R [/mm] liegt, muss es das Inverse [mm] \bruch{p}{s} [/mm] geben und damit auch [mm] \bruch{1}{p}.
[/mm]
Aus der letzten Gleichung bekomme ich [mm] 0=t(p\tilde{f}\cdot g\hat{g} [/mm] - [mm] f\hat{g}\cdot 1\tilde{g}).
[/mm]
Dann müsste ja p ein Teiler der rechten Seite des "-" sein, oder? Aber ich sehe nicht, wie ich da einbringen kann, dass p prim ist. Mir fehlt da irgendwie noch der Durchblick...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Do 18.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hmmm...
> Also wenn [mm]p\vert s\in[/mm] S, dann [mm]\bruch{s}{p}\in[/mm] S, aber da es
Wieso das?! Das liegt erstmal nur in $R$.
> auch in [mm]S^{-1}R[/mm] liegt, muss es das Inverse [mm]\bruch{p}{s}[/mm]
> geben und damit auch [mm]\bruch{1}{p}.[/mm]
Das stimmt so nicht. Es gibt ein $s [mm] \in [/mm] S$ mit $p [mm] \mid [/mm] s$, etwa $p g = s$ fuer $g [mm] \in [/mm] R$. Also ist [mm] $\frac{p}{1} \cdot \frac{g}{?} [/mm] = [mm] \frac{s}{?}$. [/mm] Und fuer $?$ musst du passendes ein Element aus $S$ einsetzen.
> Aus der letzten Gleichung bekomme ich [mm]0=t(p\tilde{f}\cdot g\hat{g} - f\hat{g}\cdot 1\tilde{g}).[/mm]
Jetzt denk dran, dass $R$ ein Integritaetsbereich ist. Damit wirst du das $t$ los.
> Dann müsste ja p ein Teiler
> der rechten Seite des "-" sein, oder?
Genau.
> Aber ich sehe nicht,
> wie ich da einbringen kann, dass p prim ist. Mir fehlt da
> irgendwie noch der Durchblick...
Wie ist ``Primelement'' denn definiert?
LG Felix
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