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Hallo, gibt es Primelemente in nicht nullteilerfreien Ringen, zb. [mm] \IZ/ 6\IZ? [/mm] Ich bin mir jetzt nicht mehr so sicher. Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Di 03.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, gibt es Primelemente in nicht nullteilerfreien
> Ringen, zb. [mm]\IZ/ 6\IZ?[/mm] Ich bin mir jetzt nicht mehr so
> sicher. Lg
Das haengt davon ab, wie du Primelement dort definieren willst. Wenn es einfach ein Element $p [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus (\{ 0 \} \cup R^\ast)$ [/mm] sein soll mit [mm] $\forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] R : p [mm] \mid [/mm] (a b) [mm] \Rightarrow [/mm] (p [mm] \mid [/mm] a [mm] \vee [/mm] p [mm] \mid [/mm] b)$, dann gibt es das schon: in [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] sind dann etwa die Restklassen von 2 und 3 Primelemente.
Wenn so ein Primelement ein Nichtnullteiler sein soll, geht das auch. In endlichen Ringen geht das allerdings nicht, da jeder Nichtnullteiler dort bereits eine Einheit ist. Abert im Ring [mm] $\IZ[X]/(X^2)$ [/mm] ist die Restklasse von 2 ein Primelement.
LG Felix
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Achso danke, also auch in zB. sowas wie [mm] \IZ/6\IZ [/mm] sind die Primelemente dann ganz normal die Primzahlen ? Bzw. Sind die Elemente aus dem Ring ja Äquivalenzklassen und 2 und 3 Repräsentanten (wenn ich jetzt nicht alles durcheinander haue). Ich will nähmlich ein Gegenbeispiel finden, wenn man aus dem Satz " Sei R ein Integritätsbereich. Wenn p aus R ein primelement ist, dann ist p irreduzibel." die Voraussetzung Integritätsbereich weglässt. 2 wäre dann ja jetzt zB Prim, aber ist 2 nicht auch irreduzibel? Die Einheiten sind ja 1 und 5. Mit der 5 haut das zwar nicht hin, aber kann sie sich nicht als 2=a*1 also 1 ist ne Einheit schreiben lassen?Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mi 04.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schachtel,
> Achso danke, also auch in zB. sowas wie [mm]\IZ/6\IZ[/mm] sind die
> Primelemente dann ganz normal die Primzahlen ?
Da muss ich passen, daher markiere ich die Frage als nur teilweise beantwortet.
> Bzw. Sind
> die Elemente aus dem Ring ja Äquivalenzklassen und 2 und 3
> Repräsentanten
Genau.
> Ich will nähmlich ein Gegenbeispiel finden, wenn
> man aus dem Satz " Sei R ein Integritätsbereich. Wenn p
> aus R ein primelement ist, dann ist p irreduzibel." die
> Voraussetzung Integritätsbereich weglässt. 2 wäre dann
> ja jetzt zB Prim, aber ist 2 nicht auch irreduzibel?
Nein, 2 ist nicht irreduzibel in [mm] $\IZ/6\IZ$.
[/mm]
> Die Einheiten sind ja 1 und 5.
Ja.
> Mit der 5 haut das zwar nicht
> hin, aber kann sie sich nicht als 2=a*1 also 1 ist ne
> Einheit schreiben lassen?
In [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] gilt [mm] $2=2\cdot [/mm] 1$ und [mm] $2=4\cdot [/mm] 5$. Darum geht es aber bei der Frage nach der Irreduzibilität nicht: Die Frage ist, ob sich 2 in der Form [mm] $2=a\cdot [/mm] b$ mit a und b Nichteinheiten schreiben lässt.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Mi 04.04.2012 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen,
> > Ich will nähmlich ein Gegenbeispiel finden, wenn
> > man aus dem Satz " Sei R ein Integritätsbereich. Wenn p
> > aus R ein primelement ist, dann ist p irreduzibel." die
> > Voraussetzung Integritätsbereich weglässt. 2 wäre dann
> > ja jetzt zB Prim, aber ist 2 nicht auch irreduzibel?
> Nein, 2 ist nicht irreduzibel in [mm]\IZ/6\IZ[/mm].
genauer: $2 = 2 [mm] \cdot [/mm] 4$. Dabei sind weder 2 noch 4 Nicht-Einheiten.
Dieses Beispiel zeigt auch, warum man normalerweise bei Teilbarkeitstheorie an Integritaetsbereichen bzw. an Nichtnullteilern interessiert ist.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mi 04.04.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Achso danke, also auch in zB. sowas wie [mm]\IZ/6\IZ[/mm] sind die
> Primelemente dann ganz normal die Primzahlen ?
Nein, nicht umbedingt. Das klappt nur manchmal.
Beachte, dass nach dem chin. Restsatz gilt [mm] $\IZ/6\IZ \cong \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ$. [/mm] Die Einheiten in [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] entsprechen Paaren in [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ$, [/mm] in denen beide Komponenten jeweils Restklassen [mm] $\neq [/mm] 0$ sind.
Bei einem Produkt zweier Koerper kann man sehen: die Primelemente entsprechen gerade den Tupeln, die in einer Komponente eine 0 und in der anderen eine Einheit stehen haben.
(In [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] ist 4 uebrigens ebenfalls ein Primelement.)
Bei allgemeinem [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] wird es schwerer. Ist $n = p q$ mit zwei verschiedenen Primzahlen $p$ und $q$, so geht es wie oben. Hat man mehr Primfaktoren (aber keine Primzahlpotenz), so kann man aehnlich alle Primelemente finden. Sobald man allerdings hoehere Potenzen hat muss man etwas mehr aufpassen. In [mm] $\IZ/8\IZ$ [/mm] ist etwa die Restklasse von 2 ein Primelement.
Spontan koennte ich mir vorstellen, dass $x + [mm] n\IZ$ [/mm] in [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] genau dann ein Primelement ist, wenn $ggT(x, n)$ eine Primzahl ist. Du kannst ja versuchen, das zu beweisen oder zu widerlegen. Du kannst auch untersuchen, wann solche Primelemente irreduzibel sind. Ich tippe darauf, dass sie es genau dann sind, wenn $n$ eine Primzahlpotenz ist, aber das ist jetzt eine spontane Vermutung.
> Ich will nähmlich ein Gegenbeispiel finden, wenn
> man aus dem Satz " Sei R ein Integritätsbereich. Wenn p
> aus R ein primelement ist, dann ist p irreduzibel." die
> Voraussetzung Integritätsbereich weglässt. 2 wäre dann
> ja jetzt zB Prim, aber ist 2 nicht auch irreduzibel?
Ist es nicht; siehe den anderen Teil der Diskussion.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:07 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Hallo, vielen Dank ihr beiden.
Ich muss gestehen, ich verstehe vieles davon noch nicht richtig, dafür reichen meine linearen Algebra Kentnisse nicht aus. Z.B. den chinesischen Restsatz habe ich mir zum ersten Mal angeschaut, nicht verstanden^^, aber die Isomorphie sehe ich mit dem Ringisomorphismus f(a mod 6)=(a mod 2,a mod 3) ein, wenn ich mich nicht vertan habe. Werde mich aber mal weiterhin damit beschäftigen und mal sehen, ob ich dann deine Vermutung zeigen oder wiederlegen kann. Ich poste das dann hier noch hin (auch falls jemand anderes mal auf den Beitrag kommt und da auch drüber nachdenkt). Danke
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