Prämaße auf F^1 < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Sei F : [mm] \IR \to \IR [/mm] nichtfallend.
Sei
[mm] \mu_F [/mm] ([a,b)) := F(b) - F(a) für alle a < b ein Prämaß auf [mm] F^1 [/mm] (Menge aller endlichen Vereinigungen von rechtshalboffenen Intervallen)
Zu zeigen:
Zu jedem Intervall [a,b) , a < b existiert ein c [mm] \in [/mm] (a,b) , sodass
[mm] \mu_F [/mm] ([a,b)) - [mm] \mu_F [/mm] ([a,c)) < [mm] \varepsilon [/mm]
ist. |
Huhu zusammen!
Also vorrausgesetzt ist, dass [mm] \mu_F [/mm] Prämaß ist und man hat uns gesagt, dass diese Aufgabe zu zeigen ist mit der Eigenschaft der linksseitgen Stetigkeit.
es ist
[mm] \mu_F [/mm] ([a,b)) - [mm] \mu_F [/mm] ([a,c)) = F(b) - F(a) - ( F(c) -F(a) )
= F(b) - F(c) und dies soll kleiner [mm] \varepsilon [/mm] sein.
Die Funktion F ist nicht monoton fallend.
Also ist F(b) [mm] \ge [/mm] F(c) . ( da c [mm] \in [/mm] (a,b))
linksseitig stetig bedeutet nun allgemein, dass
[mm] \limes_{x \rightarrow b-} [/mm] F(x) = F(b) oder spezieller hier, dass
[mm] \limes_{c \rightarrow b-} [/mm] F(c) = F(b)
Also könnte ich dies umschreiben zu
[mm] \limes_{c \rightarrow b-} [/mm] F(c) - F(c) < [mm] \varepsilon
[/mm]
Soweit sind meine Vorüberlegungen. Ich glaube nah dran zu sein, aber im Moment weiß ich den nächsten Schritt nicht, daher wäre ich dankbar für Ratschläge :)
Lieben Gruß
Eve
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 So 03.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Eve!
> a)
>
> Sei F : [mm]\IR \to \IR[/mm] nichtfallend.
>
> Sei
>
> [mm]\mu_F[/mm] ([a,b)) := F(b) - F(a) für alle a < b ein Prämaß
> auf [mm]F^1[/mm] (Menge aller endlichen Vereinigungen von
> rechtshalboffenen Intervallen)
>
> Zu zeigen:
>
> Zu jedem Intervall [a,b) , a < b existiert ein c [mm]\in[/mm] (a,b)
> , sodass
> [mm]\mu_F[/mm] ([a,b)) - [mm]\mu_F[/mm] ([a,c)) < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> ist.
> Also vorrausgesetzt ist, dass [mm]\mu_F[/mm] Prämaß ist und man
> hat uns gesagt, dass diese Aufgabe zu zeigen ist mit der
> Eigenschaft der linksseitgen Stetigkeit.
Guter Tipp. Die linksseitige Stetigkeit von F wurde ja in einer anderen Aufgabe gezeigt.
> es ist
>
> [mm]\mu_F[/mm] ([a,b)) - [mm]\mu_F[/mm] ([a,c)) = F(b) - F(a) - ( F(c) -F(a)
> )
>
> = F(b) - F(c) und dies soll kleiner [mm]\varepsilon[/mm] sein.
Ja.
> Die Funktion F ist nicht monoton fallend.
> Also ist F(b) [mm]\ge[/mm] F(c) . ( da c [mm]\in[/mm] (a,b))
Ja.
> linksseitig stetig
an der Stelle b
> bedeutet nun allgemein, dass
> [mm]\limes_{x \rightarrow b-}[/mm] F(x) = F(b) oder spezieller
> hier, dass
> [mm]\limes_{c \rightarrow b-}[/mm] F(c) = F(b)
Ja.
> Also könnte ich dies umschreiben zu
>
> [mm]\limes_{c \rightarrow b-}[/mm] F(c) - F(c) < [mm]\varepsilon[/mm]
Das gilt zwar (denn $F(c)-F(c)=0$ für alle $c$), aber hat nichts mehr mit der linksseitigen Stetigkeit von F zu tun und hilft uns leider nicht weiter.
Es gilt aber
[mm] $\lim_{c\rightarrow b-}(F(b)-F(c))=F(b)-F(b)=0$.
[/mm]
Also existiert ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit
[mm] $F(b)-F(c)<\varepsilon$
[/mm]
für alle $c<b$ mit [mm] $b-c<\delta$.
[/mm]
Speziell gilt dies also z.B. für [mm] $c:=b-\bruch{\delta}{2}$ [/mm] .
Viele Grüße
Tobias
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Vielen lieben Dank tobit09 :D
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