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| Aufgabe | Sei H ein reeller Hilbertraum. Man zeige, dass für je zwei Vektoren [mm] x,y\in{H} [/mm] die folgenden Aussagen äquivalent sind:
i) [mm] x\perp{y}
[/mm]
ii) [mm] \Vert{x+y}\Vert^2=\Vert{x}\Vert^2+\Vert{y}\Vert^2
[/mm]
iii) [mm] \Vert{x+y}\Vert=\Vert{x-y}\Vert [/mm] |
Hallo,
ich habe leider ein Brett vorm Kopf. Kann es mir jemand wegnehmen?
Die Aussagen [mm] i)\Rightarrow [/mm] ii) und [mm] iii)\Rightarrow [/mm] i) sind kein Problem.
Nur bei [mm] ii)\Rightarrow [/mm] iii) hängt es. Habe schon versucht [mm] \Vert{x+y}\Vert\ge\Vert{x-y}\Vert [/mm] und [mm] \Vert{x+y}\Vert\le\Vert{x-y}\Vert [/mm] zu zeigen. Doch das klappt nicht so, wie ich es wollte.
Wenn ich die Ausdrücke einmal ausschreibe, dann müsste ich immer wieder auf die Aussage i) zurückgreifen, um letztendlich das gewünschte Ergebnis zu zeigen.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich meine Überlegungen ansetzen kann?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei H ein reeller Hilbertraum. Man zeige, dass für je zwei
> Vektoren [mm]x,y\in{H}[/mm] die folgenden Aussagen äquivalent
> sind:
>
> i) [mm]x\perp{y}[/mm]
> ii) [mm]\Vert{x+y}\Vert^2=\Vert{x}\Vert^2+\Vert{y}\Vert^2[/mm]
> iii) [mm]\Vert{x+y}\Vert=\Vert{x-y}\Vert[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe leider ein Brett vorm Kopf. Kann es mir jemand
> wegnehmen?
Gerne. Es gelte also ii)
Dann ist [mm] ||x-y||^2=||x+(-y)||^2=||x||^2+||-y||^2.
[/mm]
Jetzt nimmst Du wahrscheinlich das Brett, das ich Dir vom Kopf geschraubt habe, und haust es Dir an die Stirn, mit den Worten: " mein Gott bin ich..."
Mach Dir nix draus, solche Hänger hat jeder ab und zu.
Neulich ist mir folgendes passiert: da hat jemand eine Behauptung aufgestellt: " ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet in [mm] \IC. [/mm] Dann gilt blablablubber."
Ich hab sofort gesagt: "das stimmt nicht, denn ich hab ein Gegenbeispiel: sei G= [mm] \IC \setminus \{0\}.... [/mm] "
mein Gegenüber hat mich sofort unterbrochen: " dein G ist nicht einfach zusammenhängend ... "
Und Recht hatte er !
Und das ist mir passiert. In meinen Vorlesungen zur Funktionentheorie bringe ich immer mehrere Charakterisierungen von einfach zusammenhängenden Gebieten ( über Homotopie, Homologie, .....).
Was ich sagen will: das mit G= [mm] \IC \setminus \{0\} [/mm] hätte mir nicht passieren dürfen ! Das war blamabel.
Aber: ..jeder greift mal ins Klo..
Grüße FRED
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> Die Aussagen [mm]i)\Rightarrow[/mm] ii) und [mm]iii)\Rightarrow[/mm] i) sind
> kein Problem.
>
> Nur bei [mm]ii)\Rightarrow[/mm] iii) hängt es. Habe schon versucht
> [mm]\Vert{x+y}\Vert\ge\Vert{x-y}\Vert[/mm] und
> [mm]\Vert{x+y}\Vert\le\Vert{x-y}\Vert[/mm] zu zeigen. Doch das
> klappt nicht so, wie ich es wollte.
> Wenn ich die Ausdrücke einmal ausschreibe, dann müsste
> ich immer wieder auf die Aussage i) zurückgreifen, um
> letztendlich das gewünschte Ergebnis zu zeigen.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich meine
> Überlegungen ansetzen kann?
>
> Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Do 23.01.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Fred,
> > Sei H ein reeller Hilbertraum. Man zeige, dass für je zwei
> > Vektoren [mm]x,y\in{H}[/mm] die folgenden Aussagen äquivalent
> > sind:
> >
> > i) [mm]x\perp{y}[/mm]
> > ii) [mm]\Vert{x+y}\Vert^2=\Vert{x}\Vert^2+\Vert{y}\Vert^2[/mm]
> > iii) [mm]\Vert{x+y}\Vert=\Vert{x-y}\Vert[/mm]
> > Hallo,
> >
> > ich habe leider ein Brett vorm Kopf. Kann es mir jemand
> > wegnehmen?
>
> Gerne. Es gelte also ii)
>
> Dann ist [mm]||x-y||^2=||x+(-y)||^2=||x||^2+||-y||^2.[/mm]
>
> Jetzt nimmst Du wahrscheinlich das Brett, das ich Dir vom
> Kopf geschraubt habe, und haust es Dir an die Stirn, mit
> den Worten: " mein Gott bin ich..."
Oh Gott. Das ist wirklich peinlich.
Aber du hast Recht, manchmal ist man festgefahren.
>
> Mach Dir nix draus, solche Hänger hat jeder ab und zu.
>
> Neulich ist mir folgendes passiert: da hat jemand eine
> Behauptung aufgestellt: " ist G ein einfach
> zusammenhängendes Gebiet in [mm]\IC.[/mm] Dann gilt
> blablablubber."
>
> Ich hab sofort gesagt: "das stimmt nicht, denn ich hab ein
> Gegenbeispiel: sei G= [mm]\IC \setminus \{0\}....[/mm] "
>
> mein Gegenüber hat mich sofort unterbrochen: " dein G ist
> nicht einfach zusammenhängend ... "
>
> Und Recht hatte er !
Haha, kenne ich zu gut. Peinlich ist es, wenn der Dozent Behauptungen aufstellt und der Student berichtigt. Unangenehme Situation.
Aber es gilt ja:
http://www.youtube.com/watch?v=WvgDtcmv-BQ
Danke dir Fred. Das Brett ist weg und kann jetzt verfeuert werden - die Temperaturen sinken...
Grüße!
>
> Und das ist mir passiert. In meinen Vorlesungen zur
> Funktionentheorie bringe ich immer mehrere
> Charakterisierungen von einfach zusammenhängenden Gebieten
> ( über Homotopie, Homologie, .....).
>
> Was ich sagen will: das mit G= [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm] hätte
> mir nicht passieren dürfen ! Das war blamabel.
>
> Aber: ..jeder greift mal ins Klo..
>
> Grüße FRED
> >
> > Die Aussagen [mm]i)\Rightarrow[/mm] ii) und [mm]iii)\Rightarrow[/mm] i) sind
> > kein Problem.
> >
> > Nur bei [mm]ii)\Rightarrow[/mm] iii) hängt es. Habe schon versucht
> > [mm]\Vert{x+y}\Vert\ge\Vert{x-y}\Vert[/mm] und
> > [mm]\Vert{x+y}\Vert\le\Vert{x-y}\Vert[/mm] zu zeigen. Doch das
> > klappt nicht so, wie ich es wollte.
> > Wenn ich die Ausdrücke einmal ausschreibe, dann
> müsste
> > ich immer wieder auf die Aussage i) zurückgreifen, um
> > letztendlich das gewünschte Ergebnis zu zeigen.
> >
> > Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich meine
> > Überlegungen ansetzen kann?
> >
> > Vielen Dank.
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