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| Aufgabe | Seien A, B, C Mengen, R [mm] \subseteq [/mm] A x b, S [mm] \subseteq [/mm] B x C und T [mm] \subseteq [/mm] A x A.
a) Geben sie die definierende Aussageform von S [mm] \circ [/mm] R mit Hilfe einer Prädikatenlogischen Formel an.
b) Zeigen Sie, dass (S [mm] \circ R)^{-1} [/mm] = [mm] R^{-1} \circ S^{-1} [/mm] gilt.
c) Zeigen Sie: [mm] \forall [/mm] b,c [mm] \in [/mm] A : [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A : aTb [mm] \wedge [/mm] aTc [mm] \Rightarrow \exists [/mm] d [mm] \in [/mm] A : bTd [mm] \wedge [/mm] cTd [mm] \gdw [/mm] T [mm] \circ T^{-1} \subseteq T^{-1} \circ [/mm] T |
Zu Teil a)
Wir haben S [mm] \circ [/mm] R := {(a,b) [mm] \in [/mm] A x C | es gibt ein b [mm] \in [/mm] B mit (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] S} definiert in einer vorheringen Aufgabe.
Also wäre meine Lösung für diesen Aufgabenteil:
[mm] \forall(a,b) \in [/mm] A x C : [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B : (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] S
Zu Teil b)
[mm] R^{-1} [/mm] : = {(y,x) [mm] \in [/mm] B x A | (x,y) [mm] \in [/mm] R}
Als erstes eine Verständnisfrage, und zwar
für S [mm] \circ [/mm] R heißt es ja für a folgt ein b und für b folgt ein c also für a folgt ein c.
Kann ich mir dann für (S [mm] \circ R)^{-1} [/mm] vorstellen, dass aus c ein b folgt und aus b ein a, und somit für ein c folgt ein a?
Dem nach gilt doch (S [mm] \circ R)^{-1} [/mm] : = {(c,a) [mm] \in [/mm] C x A | es gibt ein b [mm] \in [/mm] B mit (c,b) [mm] \in [/mm] S [mm] \wedge [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] R} oder?
Leider fehlt mir grade jeglicher Ansatz für Teil c, kann mir da jemand Hilfestellung geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Mo 28.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Seien A, B, C Mengen, R [mm]\subseteq[/mm] A x b, S [mm]\subseteq[/mm] B x C
> und T [mm]\subseteq[/mm] A x A.
> a) Geben sie die definierende Aussageform von S [mm]\circ[/mm] R
> mit Hilfe einer Prädikatenlogischen Formel an.
> b) Zeigen Sie, dass (S [mm]\circ R)^{-1}[/mm] = [mm]R^{-1} \circ S^{-1}[/mm]
> gilt.
> c) Zeigen Sie: [mm]\forall[/mm] b,c [mm]\in[/mm] A : [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A : aTb
> [mm]\wedge[/mm] aTc [mm]\Rightarrow \exists[/mm] d [mm]\in[/mm] A : bTd [mm]\wedge[/mm] cTd
> [mm]\gdw[/mm] T [mm]\circ T^{-1} \subseteq T^{-1} \circ[/mm] T
> Zu Teil a)
> Wir haben [mm] S \circ R := \{(a,b) \in A \times C | \mbox{ es gibt ein } b
> \in B \mbox{ mit } (a,b) \in R \mbox{ und } (b,c) \in S\} [/mm] definiert in einer
> vorheringen Aufgabe.
> Also wäre meine Lösung für diesen Aufgabenteil:
> [mm]\forall(a,b) \in[/mm] A [mm] \times [/mm] C : [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] B : (a,b) [mm]\in[/mm] R
> [mm]\wedge[/mm] (b,c) [mm]\in[/mm] S
Wahrscheinlich nur ein Tippfehler. Es müsste heißen:
[mm]S \circ R := \{(a,c) \in A \times C | \mbox{ es gibt ein } b
\in B \mbox{ mit } (a,b) \in R \mbox{ und } (b,c) \in S\} [/mm] und
[mm]\forall (a,c) \in (S \circ R) : \exists b \in B \wedge \exists a \in A \wedge \exists c \in C: (a,b) \in R \wedge (b,c) \in S [/mm]
ansonsten ok.
>
> Zu Teil b)
> [mm]R^{-1} : = \{(y,x) \in B \times A | (x,y) \in R \} [/mm]
> Als erstes eine Verständnisfrage, und zwar
> für S [mm]\circ[/mm] R heißt es ja für a folgt ein b und für b
> folgt ein c also für a folgt ein c.
Das "folgt" stört mich hier etwas, aber: aRb [mm] $\wedge$ [/mm] bSc [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (a,c) [mm] $\in$ [/mm] S [mm]\circ[/mm] R.
> Kann ich mir dann für [mm] (S\circ R)^{-1}[/mm] vorstellen, dass
> aus c ein b folgt und aus b ein a, und somit für ein c
> folgt ein a?
Ist (a,c) [mm] $\in$ [/mm] S [mm]\circ[/mm] R, so ist (c,a) [mm] \in (S \circ R)^{-1} [/mm]
> Dem nach gilt doch [mm] (S \circ R)^{-1}[/mm] : = [mm] \{(c,a) \in C \times A |
> \mbox{ es gibt ein } b \in B \mbox{ mit } (c,b) \in S \wedge (b,a) \in R\} [/mm]
> oder?
Ein bisschen verdreht.
[mm] (S \circ R)^{-1} = \{(c,a) \in C \times A |
\exists b \in B, \mbox{ mit } (b,c) \in S \wedge (a,b) \in R \} [/mm]
>
> Leider fehlt mir grade jeglicher Ansatz für Teil c, kann
> mir da jemand Hilfestellung geben?
Mir fehlen bei c) ein wenig die Klammern bzw. wie ich das richtig sinvoll zusammenfasse;
oder heißt es
[mm]\forall[/mm] b,c [mm]\in[/mm] A : [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A : aTb [mm]\wedge[/mm] aTc [mm]\Rightarrow \exists[/mm] d [mm]\in[/mm] A : bTd [mm]\wedge[/mm] cTd [mm]\gdw[/mm] T [mm]\circ T^{-1} \subseteq T^{-1} \circ[/mm] T ?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Sa 03.12.2011 | | Autor: | userxyz123 |
Ich habe jetzt meine Korrektur wieder bekommen, Und zwar habe ich für bei a)
Die definierende Aussageform von S [mm] \circ [/mm] R :
$ [mm] \forall [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] (A x C) : [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B : (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] S $
b) (c,a) [mm] \in [/mm] ( S [mm] \circ [/mm] R [mm] )^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] S [mm] \circ [/mm] R
[mm] \gdw \forall [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] AxC : [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B: (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] S
[mm] \gdw \forall [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] AxC : [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B: (b,a) [mm] \in R^{-1} \wedge [/mm] (c,b) [mm] \in S^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] AxC : [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B: (c,b) [mm] \in S^{-1} \wedge [/mm] (b,a) [mm] \in R^{-1} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (c,a) [mm] \in R^{-1} \circ S^{-1}
[/mm]
C)
[mm] \forall [/mm] b,c [mm] \in [/mm] A : [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : aTb [mm] \wedge [/mm] aTc [mm] \Rightarrow \exists [/mm] d [mm] \in [/mm] A : bTd [mm] \wedge [/mm] cTd [mm] \gdw [/mm] T [mm] \circ T^{-1} \subseteq T^{-1} \circ [/mm] T
[mm] \forall [/mm] b,c [mm] \in [/mm] A : [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : aTb [mm] \wedge [/mm] aTc [mm] \Rightarrow \exists [/mm] d [mm] \in [/mm] A : bTd [mm] \wedge [/mm] cTd
[mm] \gdw \forall [/mm] b,c [mm] \in [/mm] A : [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A : (a,b) [mm] \in [/mm] T [mm] \wedge [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] T [mm] \Rightarrow \exists [/mm] d [mm] \in [/mm] A : (b,d) [mm] \in [/mm] T [mm] \wedge [/mm] (c,d) [mm] \in [/mm] T
[mm] \gdw \forall [/mm] b,c [mm] \in [/mm] A : [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A : (b,a) [mm] \in T^{-1} \wedge [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] T [mm] \Rightarrow \exists [/mm] d [mm] \in [/mm] A : (b,d) [mm] \in [/mm] T [mm] \wedge [/mm] (d,c) [mm] \in T^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] b,c [mm] \in [/mm] A : [mm] (\exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : (b,a) [mm] \in T^{-1} \wedge [/mm] (a,c) [mm] \in [/mm] T) [mm] \Rightarrow \exists [/mm] d [mm] \in [/mm] A : (b,d) [mm] \in [/mm] T [mm] \wedge [/mm] (d,c) [mm] \in T^{-1}
[/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] b,c [mm] \in [/mm] A : [mm] (b,c)\in [/mm] T [mm] \circ T^{-1} \rightarrow [/mm] (b,c) [mm] \in T^{-1} \circ [/mm] T
[mm] \gdw [/mm] T [mm] \circ T^{-1} \subseteq T^{-1} \circ [/mm] T
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mo 28.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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