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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Gerd52 |
| Aufgabe | Hallo liebe Leute,
ich beiße mir gerade an ein paar Ausdrücken die Zähne aus:
geg. präd. Formel über Menge der nat. Zahlen
[mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y P(x,y) [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y P(x,y)
wahr oder falsch für =, [mm] \not= [/mm] , <, >, [mm] \le [/mm] , [mm] \ge
[/mm]
Lösung: wahr für >, [mm] \le [/mm] und falsch für den Rest
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könnte mir 1. jemand sagen, wie man das richtig liest und erklären wie man zu den Ergebnissen kommt anhand der nat. Zahlen(Bsp).
2. wenn ich [mm] \neg \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y P(x,y) habe.
wie könnte man den Ausruck noch schreiben bzw. umformen? also was ich meine, zum Beispiel [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y)
viele Grüße und Danke
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Hallo!
> könnte mir 1. jemand sagen, wie man das richtig liest und
> erklären wie man zu den Ergebnissen kommt anhand der nat.
> Zahlen(Bsp).
[mm] $\exists\ [/mm] x \ [mm] \forall\ [/mm] y\ P(x,y)$ liest man nach meiner Auffassung so: Es existiert ein $x$, so dass für alle $y$ die Aussage $P(x,y)$ wahr ist.
Teste die Formel nun anhand von "=":
Die Aussage [mm] $\exists\ [/mm] x \ [mm] \forall\ [/mm] y:\ x=y$ ist falsch, da es stets ein [mm] $y\in\IN$ [/mm] gibt mit [mm] $y\ne [/mm] x$.
Die Aussage [mm] $\forall\ [/mm] x\ [mm] \exists\ [/mm] y:\ x=y$ ist wahr, da es zu jedem [mm] $x\in\IN$ [/mm] ein $y$ gibt mit $x=y$, nämlich $y:=x$.
In diesem Fall ist die Formel also falsch.
Nun für [mm] "$\le$":
[/mm]
Die Aussage [mm] $\exists\ [/mm] x \ [mm] \forall\ [/mm] y:\ [mm] x\le [/mm] y$ ist wahr, wähle $x=1$.
Die Aussage [mm] $\forall\ [/mm] x\ [mm] \exists\ [/mm] y:\ [mm] x\le [/mm] y$ ist wahr, wähle z.B. $y:=x$.
In diesem Fall ist die Formel also wahr.
Ist dir die Vorgehensweise nun klar?
> 2. wenn ich [mm]\neg \forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y P(x,y) habe.
> wie könnte man den Ausruck noch schreiben bzw. umformen?
> also was ich meine, zum Beispiel [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y [mm]\neg[/mm]
> P(x,y)
Das Gegenteil von "für alle $x$ existiert ein $y$ mit $P(x,y)$" ist: "es gibt ein $x$, so dass für alle $y$ nicht $P(x,y)$".
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Gerd52 |
| Aufgabe | Das Gegenteil von "für alle existiert ein mit " ist: "es gibt ein , so dass für alle nicht "....hattest Du oben das nicht vergessen?
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teilweise verstehe ich es. es geht mir hauptsächlich um das verständnis bei der umformung des 2-stelligen prädikats. gelten die regeln für die umformung beim 1-stelligen prädikat auch beim 2-stelligen prädikat? mir fehlt es hier am verständnis, ich kann das nicht auf das 2-stellige prädikat übertragen.
beispiele:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y) [mm] \equiv \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y P(x,y) ?
[mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y P(x,y) [mm] \equiv \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y P(x,y) ?
[mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y P(x,y) [mm] \equiv \neg \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y) ?
[mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y P(x,y) [mm] \equiv \neg \exists [/mm] x [mm] \neg \exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y) ?
[mm] \exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y P(x,y) [mm] \equiv \neg \forall [/mm] x [mm] \neg \forall [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y) ?
vielleicht kannst du mir oben die vier beispiele mal korrigieren und mir das noch erläutern. beim 1-stelligen prädikat kann ich das übertragen.
danke und viele grüße
Gerd
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Halo Gerd,
> gelten die regeln für die umformung beim 1-stelligen
> prädikat auch beim 2-stelligen prädikat?
Welche Regeln hast du denn da?
> beispiele:
Ein Tipp: Schließe Formeln in Dollarzeichen ein, dann wird nicht jedes Zeichen einzeln als separate Formel betrachtet. So wie hier:
> [mm]\forall x \exists y \neg P(x,y) \equiv \neg \exists x \forall y P(x,y)[/mm]
Die einzigen Regeln, die du hier brauchst, sind
[mm] $\forall [/mm] z [mm] \neg [/mm] Q(z) [mm] \equiv \neg \exists [/mm] z Q(z)$
[mm] $\exists [/mm] z [mm] \neg [/mm] Q(z) [mm] \equiv \neg \forall [/mm] z Q(z)$
Das sind vermutlich die Regeln, die du meinst. Sie gelten auch, wenn das Prädikat Q von weiteren Variablen außer $z$ abhängt.
Die linke Seite der obigen Äquivalenz ist [mm] $\forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y)$, die als Unterformel [mm] $\exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y)$ enthält. Dass $x$ in dieser Unterformel nicht gebunden ist, spielt überhaupt keine Rolle, auch die Stelligkeit des Prädikats ist egal. Wichtig ist nur: Du hast einen Existenzquantor vor der negierten Unterformel $P(x,y)$. Damit ist die Unterformel [mm] $\exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y)$ äquivalent zu [mm] $\neg \forall [/mm] y P(x,y)$. Und die betrachtest du nun als Unterformel in [mm] $\forall [/mm] x [mm] (\neg \forall [/mm] y P(x,y))$, und wendest die andere Regel an, um die rechte Seite der obigen Äquivalenz zu erhalten.
> vielleicht kannst du mir oben die vier beispiele mal
> korrigieren und mir das noch erläutern. beim 1-stelligen
> prädikat kann ich das übertragen.
Mit diesen Regeln solltest du selbst herausfinden können, welche der von dir angegebenen Äquivalenzen stimmen und welche nicht.
Gruß,
SirJective
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Gerd52 |
Hallo,
mit der Erklärung Unterformel hat mir sehr gut geholfen!
Ich hoffe ich mache das jetzt richtig.
Für das erste Beispiel hast Du die Lösung schon geschrieben.
hier meine Versuche für den Rest
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y P(x,y) [mm] \equiv \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y) $
$ [mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y P(x,y) [mm] \equiv \neg \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y) $
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y P(x,y) [mm] \equiv \neg \exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y) $
$ [mm] \exists [/mm] x [mm] \exists [/mm] y P(x,y) [mm] \equiv \neg \forall [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \neg [/mm] P(x,y) $
habe ich das jetzt richtig verstanden?
vielen Dank für die bisherige Hilfe
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Hallo und guten Morgen Gerd,
brav und richtig ! 
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Di 29.08.2006 | | Autor: | Gerd52 |
Danke für die Hilfe!
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