Potenztrick bei kleinen Zahlen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:41 So 16.09.2007 | | Autor: | ambois |
Hallo
Ich habe in den anderen Bereichen der Seite leider nichts gefunden was mir weiterhilft deswegen versuche ich es mal so.
Ich weiß wie man große Zahlen ungefähr abschätzt wie z.B. :
[mm] 2^{23}=2^{10}*2^{10}*2^3 [/mm]
= 1024 * 1024 *8
= ungefähr 8 Mio
Aber ich würde gerne wissen ob es eine bestimmte Regel oder einen Trick für Berechnungen von Potenzen mit großen und teilweise negativen Exponenten gibt. Also
Als Beispiel: [mm] 4^{50}-2^{80}+8^{30}/2^{98}
[/mm]
Durch Anwendung einiger Regeln kann ich das so vereinfachen:
[mm] (2^2)^{50}-2^{80}+(2^3)^{30}/2^{98}
[/mm]
[mm] (2^{100})-(2^{80})+(2^{90})/2^{98}
[/mm]
[mm] (2^{100}/2^{98})-(2^{80}/2^{98})+(2^{90}/2^{98})
[/mm]
[mm] (2^{2})- (2^{-18})+(2^{-8})
[/mm]
Ergebnis: 4.003902435302734
Meine Frage: Wie kann ich es weiter vereinfachen daß ich das Ergebnis rauskriege ohne es in den Taschenrechner einzutippen??
Also ab dieser Stelle [mm] (2^2) [/mm] - (2^-18) + (2^-8)
Kann man das irgendwie schriftlich lösen ohne Taschenrechner?
Oder anderes Beispiel:
[mm] (2^2)-(2^{-18})
[/mm]
Ich weiß da kommt 3.9999961853027343 als Ergebnis raus aber wie kann ich das schriftlich lösen ohne einen Taschenrechner?
Ich hoffe jemand gibt mir einen hilfreichen Tipp.
Danke im voraus.
Gruss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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So ganz verstehe ich jetzt nicht, worauf du hinaus willst. Zum einen schreibst du von "abschätzen" und zum anderen " Ergebnis: 4.003902435302734 "
Letzteres ist aber keine Schätzung, sondern eine recht genaue Rechnung!!
Also: was willst du nun??
Ich gehe jetzt mal von "Schätzung" aus.
Dann hättest du rausgekriegt: "Ungefähr 4".
Dazu war dein Ansatz sehr gut, nämlich alle Potenzen auf die selbe Basis zu stellen (in diesem Fall 2):
(2^100) - (2^80) + (2^90) / 2^98
Anders geschrieben
[mm] \bruch{2^{100}-2^{80}+2^{90}}{2^{98}}
[/mm]
Im Zähler steht eine Summe. Da ist nur die höchste Potenz von Bedeutung. Dann bleibt übrig:
[mm] \bruch{2^{100}}{2^{98}}=2^{2} [/mm] . Und das ergibt 4.
Also das geschätze Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 16.09.2007 | | Autor: | ambois |
Hallo
Danke rabilein für deine Antwort.
Ich meinte folgendes:
Den Ausdruck 2^100 - 2^80 + 2^90 / 2^98
will ich schriftlich vereinfachen so daß ich irgendwie auf das Ergebnis komme ohne den Taschenrechner zu benutzen.
rabilein du sagst:
"Im Zähler steht eine Summe. Da ist nur die höchste Potenz von Bedeutung. Dann bleibt übrig: 2^100 / 2^98 = [mm] 2^2 [/mm] also Ergebnis 4"
Gilt das denn immer daß nur die höchste Potenz von Bedeutung ist? Wo kann ich das nachschlagen ich habe noch nie was davon gehört.
Ich hatte mich falsch ausgedrückt ich meinte damit, daß ich weiß wie ich große Zahlen abschätzen kann aber daß ich nicht weiß wie ich exakt auf das Ergenbnis kommen kann ohne einen Taschenrechner.
Wenn da zum Beispiel steht 2^80 + 2^100 - 2^90 dann weiß ich nicht wie ich das vereinfachen kann um auf das exakte Ergebnis zu kommen.
Das Ergebnis muss keine Dezimalzahl sein es reicht auch wenn es als Potenz da steht aber aus diesen 3 Potenzen eine zu machen das fällt mir schwer.
Ich hoffe ich hab mich verständlich ausgedrückt.
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> Gilt das denn immer daß nur die höchste Potenz von
> Bedeutung ist?
Ja, wichtig ist hierbei die gleiche Basis. Nimm als Beispiel Basis 10: Dann gibt die Potenz an, wie viele Stellen die Zahl hat. Und das ist ja das Wichtigste an einer Zahl.
Logisch: 10000000000 ist größer als 9634343, weil das Entscheidende ist, wie viele Ziffern die Zahl (vor dem Komma) hat und nicht mit welcher Ziffer sie beginnt.
Und 10009634343 ist etwa so groß wie 10000000000 , doch sind die 9634343 darin nur Peanuts
> Wenn da zum Beispiel steht 2^80 + 2^100 - 2^90 dann weiß
> ich nicht wie ich das vereinfachen kann um auf das exakte
> Ergebnis zu kommen.
Da gibt es auch nichts zu vereinfachen. Es handelt sich ja um eine Summe (Addition und Subtraktion) von Potenzen.
Nur wenn es sich um ein Produkt (Multiplikation) handelt, dann kann man da gegebenenfalls noch was zusammenfassen.
So hattest du das ja am Anfang gemacht: [mm] 2^{22}=2^{10}*2^{10}*2^{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:20 Mo 17.09.2007 | | Autor: | ambois |
Danke rabilein1 für deine Antwort
Das hatte mich etwas durcheinander gebracht mit dem vereinfachen bei Produkten und dachte daß ich es auch bei einer Summe machen könnte.
Ja das mit der höchsten Potenz ist mir jetzt auch einleuchtend, deine Begründung ist auch gut, klar daß die Stellenanzahl die Größe der Zahl bestimmt.
Danke nochmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei den grossen Zahlen warst du mit ner Abschätzung zufrieden, bei den kleinen willst du ne genaue Zahl?
Die genaue Zahl. oder wenigstens viele Stellen bekommst du nur mit Rechnen! aber mit [mm] 2^{-10}ungefähr 10^{-3}, [/mm] 2^-{8} etwa 4/1000 kommst du auf
[mm] 4+2^{-8} [/mm] ganz gut hin. nämlich auf 4,004 und dann [mm] 2^{-18}=4/1000000 [/mm] also nochmal an der 6ten Stelle ändern womit du auf 4,0039..kommst viel genauer als deine 8Mio!
und deine 8 Mio da stimmt ja auch nur die erste Stelle 8,4Mio wär schon besser!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:48 Mo 17.09.2007 | | Autor: | ambois |
Hallo leduart
Das mit meinen 8 Millionen war ja weil ich anstatt der 2^10=1024 die 1000 genommen habe also mit 1000 * 1000 * 8 = 8Mio anstatt mit 1024 * 1024 * 8= 8,4Mio gerechnet habe deswegen die Abweichung.
> Die genaue Zahl. oder wenigstens viele Stellen bekommst du
> nur mit Rechnen! aber mit [mm]2^{-10}ungefähr 10^{-3},[/mm] 2^-{8}
> etwa 4/1000 kommst du auf
> [mm]4+2^{-8}[/mm] ganz gut hin. nämlich auf 4,004 und dann
> [mm]2^{-18}=4/1000000[/mm] also nochmal an der 6ten Stelle ändern
> womit du auf 4,0039..kommst
Hmmm das verstehe ich jetzt nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo ambois!
> Das mit meinen 8 Millionen war ja weil ich anstatt der
> 2^10=1024 die 1000 genommen habe also mit 1000 * 1000 * 8 =
> 8Mio anstatt mit 1024 * 1024 * 8= 8,4Mio gerechnet habe
> deswegen die Abweichung.
Das ist schon klar! Unklar ist aber dagegen, was Du genau willst: eine Abschätzung Deiner Potenzrechnung oder ein möglichst genaues Ergebnis?
Denn Deine Methode der Abschätzung ist völlig richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nur bei den kleinen Potenzen (die Rechnung mit [mm] $\approx [/mm] \ 4$ ) legst Du plötzlich Wert auf eine Genauigkeit von x Stellen hinter dem Komma. Auch hier kann man abschätzen und da verbleibt als Schätzung eben [mm] $\approx [/mm] \ 4$ .
Gruß
Loddar
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> Hmmm das verstehe ich jetzt nicht
Das, was leduart geschrieben hat, ist dasselbe in grün, was du am Anfang auch gemacht hast.
Du weißt dass [mm] 2^{10} \approx 10^{3}
[/mm]
Daraus ergibt sich, dass [mm] \bruch{1}{2^{10}} \approx \bruch{1}{10^{3}} [/mm] oder [mm] 2^{-10} \approx 10^{-3} [/mm]
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