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| Aufgabe | Sei f eine auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorphe Funktion mit Taylorentwicklung
f(z) [mm] =\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} [/mm] um den Ursprung.
(a) Sei g : [mm] \IC \to \IC [/mm] gegeben durch g(z) := [mm] e^{z}f(z) [/mm] . Zeigen Sie, dass die Taylorentwicklung
von g um den Ursprung gegeben ist durch
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{a_k}{(n-k)!}z^n [/mm] |
Hi,
ich habe zwar eine Lösung zu obiger Aufgabe, bin mir jedoch nicht ganz sicher ob diese so auch hieb- und stichfest ist.
Wenn ich die Exponentialfunktion als Reihe schreibe, und dann das Reihenprodukt bilde erhalte ich für g
[mm] g(z)=\summe_{r=0}^{\infty}\summe_{s=0}^{\infty}\bruch{a_s}{r!}z^{r+s}.
[/mm]
Ich habe dann einfach die Laufindizes beider Reihen verglichen.
Sind [mm] r,s\in \IN, [/mm] so ist dieser Reihensummand mit k:=s und n:=r+s auch in obiger Reihe enthalten. Dabei gilt n-k=r und [mm] k\le [/mm] n.
Umgekehrt ist für [mm] n,k\in \IN [/mm] der Reihensummand mit s:=k und r:=n-k auch in meiner Reihe enthalten. Auch hier gilt r+s=n.
Da die e-Funktion als auch f in ganz [mm] \IC [/mm] holomorph sind, konvergiert auch die Potenzreihe beider Funktionen auf ganz [mm] \IC. [/mm] Also konvergiert auch die Potenzreihe zu g auf ganz [mm] \IC.
[/mm]
Demzufolge kann ich die Potenzreihe umordnen, ohne dass sich ihr Wert ändert. Und daraus folgt die Behauptung.
Kann ich das so stehen lassen?
Nun muss ich die Potenzreihe zu [mm] e^{e^{z}} [/mm] entwickeln. Habt ihr da auch eine Idee für mich? Bin mit der Potenzreihe [mm] \summe\bruch{(\summe)^{n}}{n!} [/mm] grad überfordert und suche noch nach einem Ansatz wie ich das ganze aufdröseln kann.
Viele Grüße und danke schon mal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mo 11.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Bertan!
> Sei f eine auf ganz [mm]\IC[/mm] holomorphe Funktion mit
> Taylorentwicklung
> f(z) [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}[/mm] um den Ursprung.
>
> (a) Sei g : [mm]\IC \to \IC[/mm] gegeben durch g(z) := [mm]e^{z}f(z)[/mm] .
> Zeigen Sie, dass die Taylorentwicklung
> von g um den Ursprung gegeben ist durch
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{a_k}{(n-k)!}z^n[/mm]
> Hi,
>
> ich habe zwar eine Lösung zu obiger Aufgabe, bin mir jedoch
> nicht ganz sicher ob diese so auch hieb- und stichfest
> ist.
> Wenn ich die Exponentialfunktion als Reihe schreibe, und
> dann das Reihenprodukt bilde erhalte ich für g
>
> [mm]g(z)=\summe_{r=0}^{\infty}\summe_{s=0}^{\infty}\bruch{a_s}{r!}z^{r+s}.[/mm]
> Ich habe dann einfach die Laufindizes beider Reihen
> verglichen.
>
> Sind [mm]r,s\in \IN,[/mm] so ist dieser Reihensummand mit k:=s und
> n:=r+s auch in obiger Reihe enthalten. Dabei gilt n-k=r und
> [mm]k\le[/mm] n.
> Umgekehrt ist für [mm]n,k\in \IN[/mm] der Reihensummand mit s:=k
> und r:=n-k auch in meiner Reihe enthalten. Auch hier gilt
> r+s=n.
>
> Da die e-Funktion als auch f in ganz [mm]\IC[/mm] holomorph sind,
> konvergiert auch die Potenzreihe beider Funktionen auf ganz
> [mm]\IC.[/mm] Also konvergiert auch die Potenzreihe zu g auf ganz
> [mm]\IC.[/mm]
> Demzufolge kann ich die Potenzreihe umordnen, ohne dass
> sich ihr Wert ändert. Und daraus folgt die Behauptung.
>
> Kann ich das so stehen lassen?
Ja.
> Nun muss ich die Potenzreihe zu [mm]e^{e^{z}}[/mm] entwickeln. Habt
> ihr da auch eine Idee für mich? Bin mit der Potenzreihe
> [mm]\summe\bruch{(\summe)^{n}}{n!}[/mm] grad überfordert und suche
> noch nach einem Ansatz wie ich das ganze aufdröseln kann.
Setze doch erst einmal [mm] $e^z$ [/mm] in die Potenzreihe von [mm] $e^z$ [/mm] ein und benutze [mm] $(e^z)^k [/mm] = [mm] e^{z k}$. [/mm] Und erst dann setze die innere Potenzreihe ein.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:40 Mo 11.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
danke für den Tipp. Der hat mir schon einmal geholfen. Dennoch hänge ich jetzt an einer Stelle fest.
Ich erhalte
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{a_k}{n!}k^{n}z^{n}
[/mm]
Und ich soll für die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] mit [mm] n\ge1 [/mm] zeigen, dass
[mm] a_n=\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{a_k}{(n-k-1)!} [/mm] sein soll.
Wenn ich jetzt die Koeffizienten vergleiche, paßt das eigentlich nicht zusammen.
Allein schon die Potenzen der z stimmen nicht mehr mit den jeweiligen Koeffizienten überein.
Ich vergleiche sie folgendermaßen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{a_k}{n!}k^{n}z^{n}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{a_k}{(n-k-1)!}z^n
[/mm]
Auf der linken Seite habe ich für [mm] n\ge1 [/mm] keine 0! mehr, während sie auf der rechten Seite dennoch für jede Potenz n bei k=n-1 auftritt.
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mi 13.06.2007 | | Autor: | martinh |
Hi, vielleicht kommt es ja noch rechtzeitig an, ich bin so rangegangen:
[mm]f(z) = e^{e^z} \gdw f'(z) = e^z*f(z)[/mm]
Wenn Du jetzt die Potenzreihe gliedweise Ableitest, für die [mm] a_{n} [/mm] die geforderte Form einsetzt und dann für die rechte Seite das Ergebnis aus (a) verwendest hast Du es.
Ich bin dann mal zum Mathebau, das Blatt abgeben :)
PS: Ich mache gerade auch den FT I Schein in Karlsruhe und zwar zur Zeit alleine, wenn Du noch wen suchst schreib mich mal an...
Gruß,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mi 13.06.2007 | | Autor: | BertanARG |
Hi,
 Das ist ja witzig. Ich hab das Blatt jetzt schon am Montag abgegeben, weil ich zur Zeit nicht so oft in Karlsruhe bin. Treffen werden daher eher schwer, aber wir können hier gern gemeinsam Ideen austauschen.
Weil ich gerade aber auch noch an meiner Diplomarbeit schreibe und bald abgegeben muss, habe ich mir die nötigen Punkte schon zusammengeschrieben damit ich gegen Ende zur Not auch mal die eine oder andere Aufgabe liegen lassen kann.
In welchem Semester bist du?
Grüße,
BertanARG
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