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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 30.08.2011 | | Autor: | Pons178 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x) = 5x-7 / (x-1)*(x-2)
(c) Entwickeln Sie f in eine Potenzreihe um x0 = -1. Benutzen Sie die geometrische Reihe. |
Ich habe zuerst eine Partialbruchzerlegung gemacht und komme damit auf
2/x-1 und 3/x-2
Nun bin ich leider etwas aufgeschmissen...als nächstes müsste ich die Ausdrücke doch auf die Form 1/1-q bringen oder nicht?!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=465370]
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Hallo Pons178 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben sei die Funktion f(x) = 5x-7 / (x-1)*(x-2)
In Mitteleuropa gilt Punkt- vor Strichrechnung, oben steht also [mm]5x-\frac{7}{x-1}\cdot{}(x-2)[/mm]
Du meinst aber sicher [mm]f(x)=\bruch{5x-7}{(x-1)(x-2)}[/mm] <-- klick
Setze zumindest Klammern: [mm]f(x)=(5x-7)/((x-1)(x-2))[/mm]
>
> (c) Entwickeln Sie f in eine Potenzreihe um x0 = -1.
> Benutzen Sie die geometrische Reihe.
> Ich habe zuerst eine Partialbruchzerlegung gemacht und
> komme damit auf
>
> 2/x-1 und 3/x-2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also [mm]f(x)=\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}[/mm]
>
> Nun bin ich leider etwas aufgeschmissen...als nächstes
> müsste ich die Ausdrücke doch auf die Form 1/1-q bringen
> oder nicht?!
Genau!
Du brauchst ja wegen des Entwicklungspunktes [mm] $x_0=-1$ [/mm] die Form [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\cdot{}(x+1)^k$
[/mm]
Bastel die Summanden der PBZ also so hin, dass du im Nenner $1-(x+1)$ bekommst ... (bzw. [mm] $1-\frac{x+1}{\text{Konstante}}$)
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=465370]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Pons178 |
Aus 2/(x-1) erstmal die 2 rausziehen, also 2*1/(x-1)
Aus 3/(x-2) 3/2 rausziehen, also (3/2)*1/(x/2-1)
Im Endeffekt (-2)*1/(1-x) und (-3/2)*1/(1-(x/2)) oder steh ich komplett vor der Wand?!
Dann hätte ich mein q und könnte es in die Formel einsetzen?
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Hallo nochmal,
bitte Fragen als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!
> Aus 2/(x-1) erstmal die 2 rausziehen, also 2*1/(x-1)
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> Aus 3/(x-2) 3/2 rausziehen, also (3/2)*1/(x/2-1)
>
> Im Endeffekt (-2)*1/(1-x) und (-3/2)*1/(1-(x/2)) oder steh
> ich komplett vor der Wand?!
Du brauchst ja für das q etwas mit [mm]\frac{x+1}{\text{Konstante}}[/mm]
Ich zeig's dir mal für den ersten Summanden:
[mm]\frac{2}{x-1}=\frac{-2}{1-x}=\frac{-2}{1\red{+1}-x\red{-1}}=\frac{-2}{2-(x+1)}=\frac{-2}{2\cdot{}\left(1-\frac{x+1}{2}\right)}=-\frac{1}{1-\frac{x+1}{2}}[/mm]
Also ist das [mm]=-\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x+1}{2}\right)^k[/mm] für [mm]\left|\frac{x+1}{2}\right|<1[/mm] (Konvergenzradius der geometr. Reihe)
[mm]=-\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k}\cdot{}(x+1)^k[/mm]
Das ist die gesuchte Potenzreihendarstellung für den ersten Summanden.
Berechne nun mal analog die für den anderen Summanden und model beide zusammen.
Warum und für welche [mm]x[/mm] geht das Zusammenmodeln?
>
> Dann hätte ich mein q und könnte es in die Formel
> einsetzen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Pons178 |
Okay, ich denke nun verstehe ich die Vorgehensweise...
Zweiter Summand:
[mm] \frac{-1}{1-\frac{x+1}{3}}
[/mm]
- [mm] \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{3}^k [/mm] * [mm] (x+1)^k
[/mm]
Die beiden Summanden kann ich dann ja zusammenfassen, was wie folgt aussehen würde:
[mm] \sum_{k=0}^{N} [/mm] (- [mm] \frac{1}{2}^k [/mm] - [mm] \frac{1}{3}^k) [/mm] * [mm] (x+1)^k [/mm]
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> Okay, ich denke nun verstehe ich die Vorgehensweise...
>
> Zweiter Summand:
>
> [mm]\frac{-1}{1-\frac{x+1}{3}}[/mm]
>
> - [mm]\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{3}^k[/mm] * [mm](x+1)^k[/mm]
>
> Die beiden Summanden kann ich dann ja zusammenfassen, was
> wie folgt aussehen würde:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{N}[/mm] (- [mm]\frac{1}{2}^k[/mm] - [mm]\frac{1}{3}^k)[/mm] * [mm](x+1)^k[/mm]
Herzlichen Dank für die Mitteilung.
Oder wolltest du noch etwas fragen ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Pons178 |
Nein, ich bin zufrieden. Danke für die Hilfe! 
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Hallo nochmal,
du solltest unbedingt sagen, für welche [mm] $x\in\IR$ [/mm] deine Lösung die gesuchte Potenzreihendarstellung ist.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Pons178 |
1. Summand |x+1| < 2
2. Summand |x+1| < 3
insgesamt also |x+1| < 2
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