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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 So 25.01.2009 | | Autor: | cmg |
| Aufgabe | a) Entwicklen Sie f(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x}} [/mm] an der Stelle x=0 in eine Potenzreihe. Wie lautet die n-te Summand?
b) Wie groß ist der Fehler maximal, wenn Sie zur Berechnung von f(x) an der stelle x=0.1 nur die ersten drei Summanden der Potenzreihe aufaddieren. |
So, ich bin nicht so vertraut mit diesen Aufgaben, ich habe zwar ein Ergebnis, wüsste aber gerne obs richtig ist.
a) Als erstes habe ich die Ableitungen gebildet.
[mm] f^n(x) [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{2*n-1}{2} [/mm] * [mm] (1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}
[/mm]
Ich hoffe das ist nun richtig.
Meine Potenzreihe würde nun eben so aussehen:
P(x) 1 - [mm] \bruch{0.5}{1!} [/mm] * x + ...+ [mm] \bruch{\bruch{2*n-1}{2} * (1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}}{n!} *x^n [/mm] - ...
Da erst mal die Frage obs nun richtig ist, als Antwort auf die Frage hätte ich also [mm] \bruch{\bruch{2*n-1}{2} * (1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}}{n!} *x^n [/mm] angegeben.
b) Hier würde ich nun für x eben 0.1 ausrechnen für das dritte Glied und sagen, dass der Fehler maximal so groß ist wie das dritte Gleid. Ist die Überlegung richtig?
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> a) Entwicklen Sie f(x)= [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+x}}[/mm] an der
> Stelle x=0 in eine Potenzreihe. Wie lautet die n-te
> Summand?
>
> b) Wie groß ist der Fehler maximal, wenn Sie zur Berechnung
> von f(x) an der stelle x=0.1 nur die ersten drei Summanden
> der Potenzreihe aufaddieren.
> So, ich bin nicht so vertraut mit diesen Aufgaben, ich
> habe zwar ein Ergebnis, wüsste aber gerne obs richtig ist.
>
> a) Als erstes habe ich die Ableitungen gebildet.
> [mm]f^n(x)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{2*n-1}{2}[/mm] *
> [mm](1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}[/mm]
Hallo,
wenn ich n=1 einsetze, sehe ich, daß das nicht stimmt.
>
> Ich hoffe das ist nun richtig.
> Meine Potenzreihe würde nun eben so aussehen:
Nein. Man muß doch die Ableitungen im Entwicklungspunkt x=0 geben. In dem Faktor vor den Potenzen [mm] x^k [/mm] hat eine x nichts mehr verloren.
>
> P(x) 1 - [mm]\bruch{0.5}{1!}[/mm] * x + ...+ [mm]\bruch{\bruch{2*n-1}{2} * (1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}}{n!} *x^n[/mm]
> - ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Mo 26.01.2009 | | Autor: | cmg |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort.
> > a) Als erstes habe ich die Ableitungen gebildet.
> > [mm]f^n(x)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{2*n-1}{2}[/mm] *
> > [mm](1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}[/mm]
>
> wenn ich n=1 einsetze, sehe ich, daß das nicht stimmt.
>
Da hast du recht, ich habe einen Vorzeichen-Fehler eingeschmuggelt.
[mm]f^n(x)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{2*n-1}{2}[/mm] *
[mm](1+x)^\bruch{-2*n-1}{2}[/mm]
Nun sollte es stimmen...
> > Meine Potenzreihe würde nun eben so aussehen:
>
> Nein. Man muß doch die Ableitungen im Entwicklungspunkt
> x=0 geben. In dem Faktor vor den Potenzen [mm]x^k[/mm] hat eine x
> nichts mehr verloren.
>
> >
> > P(x) 1 - [mm]\bruch{0.5}{1!}[/mm] * x + ...+ [mm]\bruch{\bruch{2*n-1}{2} * (1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}}{n!} *x^n[/mm]
> > - ...
Hmm, habe ich nun nicht richtig verstanden muss ich zugeben. Meinst du, ich habe vergessen bei meinem n-ten Glied x=0 einzusetzen und das Ergebnis kommt beim n-ten Gleid in den Zähler? Also in diesem Fall einfach das gleiche, nur ohne das x?
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> Hallo Angela,
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
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> > > a) Als erstes habe ich die Ableitungen gebildet.
> > > [mm]f^n(x)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{2*n-1}{2}[/mm] *
> > > [mm](1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}[/mm]
> >
> > wenn ich n=1 einsetze, sehe ich, daß das nicht stimmt.
> >
> Da hast du recht, ich habe einen Vorzeichen-Fehler
> eingeschmuggelt.
>
>
> [mm]f^n(x)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{2*n-1}{2}[/mm] *
> [mm](1+x)^\bruch{-2*n-1}{2}[/mm]
>
> Nun sollte es stimmen...
Hallo,
so stimmt hinten die Potenz, aber der Faktor vornedran stimmt nicht.
Es ist doch [mm] f''(x)=\bruch{3}{4}(1+x)^\bruch{-5}{2}, [/mm] und das paßt nicht.
>
>
> > > Meine Potenzreihe würde nun eben so aussehen:
> >
> > Nein. Man muß doch die Ableitungen im Entwicklungspunkt
> > x=0 geben. In dem Faktor vor den Potenzen [mm]x^k[/mm] hat eine x
> > nichts mehr verloren.
> >
> > >
> > > P(x) 1 - [mm]\bruch{0.5}{1!}[/mm] * x + ...+ [mm]\bruch{\bruch{2*n-1}{2} * (1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}}{n!} *x^n[/mm]
> > > - ...
>
> Hmm, habe ich nun nicht richtig verstanden muss ich
> zugeben. Meinst du, ich habe vergessen bei meinem n-ten
> Glied x=0 einzusetzen
Ja. Die Potenzreihe ist doch [mm] \summe\bruch{f^{(n)}(\red{0})}{n!}x^n.
[/mm]
Gruß v. Angela
und das Ergebnis kommt beim n-ten
> Gleid in den Zähler? Also in diesem Fall einfach das
> gleiche, nur ohne das x?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mo 26.01.2009 | | Autor: | cmg |
> > > > a) Als erstes habe ich die Ableitungen gebildet.
> > > > [mm]f^n(x)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{2*n-1}{2}[/mm] *
> > > > [mm](1+x)^\bruch{-2*n+1}{2}[/mm]
> > >
> > > wenn ich n=1 einsetze, sehe ich, daß das nicht stimmt.
> > >
> > Da hast du recht, ich habe einen Vorzeichen-Fehler
> > eingeschmuggelt.
> >
> >
> > [mm]f^n(x)[/mm] = [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{2*n-1}{2}[/mm] *
> > [mm](1+x)^\bruch{-2*n-1}{2}[/mm]
> >
> > Nun sollte es stimmen...
> so stimmt hinten die Potenz, aber der Faktor vornedran
> stimmt nicht.
>
> Es ist doch [mm]f''(x)=\bruch{3}{4}(1+x)^\bruch{-5}{2},[/mm] und das
> paßt nicht.
Sehe ich jetzt erst... hmmm wenn ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \bruch{5}{2} [/mm] * [mm] \bruch{7}{2} [/mm] * ...
habe, wie kann ich da was allgemeines bilden? Ist ja sicherlich irgendwas mit Fakultät, aber ich habe keinen Schimmer...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mo 26.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
> Sehe ich jetzt erst... hmmm wenn ich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] * [mm]\bruch{5}{2}[/mm] * [mm]\bruch{7}{2}[/mm] * ...
> habe, wie kann ich da was allgemeines bilden? Ist ja
> sicherlich irgendwas mit Fakultät, aber ich habe keinen
> Schimmer...
[mm] \produkt_{i=0}^{n} (\bruch{2i+1}{2})
[/mm]
(Produktzeichen analog zum Summenzeichen)
Dürfte das sein, was du suchst.
Gruß, Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Do 29.01.2009 | | Autor: | cmg |
Wie sieht es bei Aufgabenteil b) aus, ist der denn so richtig?
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> Wie sieht es bei Aufgabenteil b) aus, ist der denn so
> richtig?
Hallo,
vielleicht ja, vielleicht nein.
Ohne zu sehen, was genau Du getan hast, werde ich mich fein hüten, richtig oder falsch zu sagen.
Es muß hier eine restgliedabschätzung vorgenommen werden.
Nochmal zur Potenzreihenentwicklung: das Gemurkse mit den n-ten Ableitungen (deren Richtigkeit Du auch noch beweisen müßtest), kannst Du umgehen, indem Du die Binomialreihe verwendest.
Es ist ja [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}}= (1+x)^{-\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 29.01.2009 | | Autor: | cmg |
Mir reichts wenn diese Frage theoretisch beantwortet wird. :)
Wenn ich also eine Potenzreihe habe und ich soll dort den Fehler mit Hilfe der ersten Beiden Glieder abschätzen mit einem x=2.
Meine Überlegung war, dass ich diese 2 nun in das zweite Glied einsetze und dieses zweite Glied ausrechne. Der Fehler müsste dann kleiner, gleich sein als das Ergebnis. Ist diese Überlegung richig? Wenn nein, wie muss ich dann dort vorgehen?
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> Mir reichts wenn diese Frage theoretisch beantwortet wird.
> :)
>
> Wenn ich also eine Potenzreihe habe und ich soll dort den
> Fehler mit Hilfe der ersten Beiden Glieder abschätzen mit
> einem x=2.
>
> Meine Überlegung war, dass ich diese 2 nun in das zweite
> Glied einsetze und dieses zweite Glied ausrechne. Der
> Fehler müsste dann kleiner, gleich sein als das Ergebnis.
> Ist diese Überlegung richig? Wenn nein, wie muss ich dann
> dort vorgehen?
Hallo,
hab' ich doch gesagt:
Du mußt mit einer der Dir bekannten Restgliedformel eine Abschätzung des restgliedes vornehmen, z.B. mit dem Lagrange-Restglied.
Gruß v. Angela
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