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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Es soll [mm] f(X)=\bruch{x}{x²+x-2} [/mm] zu einer Potenzreihe entwickelt werden und der Konvergenzradius bestimmt werden. |
Hallo Leute,
also ich habe erstmal eine Partialbruchzerlegung des Nenners vorgenommen:
[mm] \bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-1}
[/mm]
A= [mm] \bruch{2}{3} [/mm] und [mm] B=\bruch{1}{3}
[/mm]
Jetzt müsste ich dies an die geometrische Reihe anpassen, leider weiß ich nicht wie man das macht. Kann mir das jemand erklären?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Was ist bei dieser Aufgabe der Entwicklungspunkt der Potenzreihe ?
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
sorry hatte vergessen ihn anzugeben. Der Entwicklungspunkt ist [mm] x_{0}=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast
$ [mm] \bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-1} [/mm] $
und
A und B hast Du berechnet.
Schreibe 1/(x+2) in der Form 0,5/(1+x/2) und 1/(1+x) in der Form 1/(1-(-x)).
Beides kannst Du jetzt als geom. Reihe schreiben
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es soll [mm]f(X)=\bruch{x}{x²+x-2}[/mm] zu einer Potenzreihe
> entwickelt werden und der Konvergenzradius bestimmt
> werden.
> Hallo Leute,
> also ich habe erstmal eine Partialbruchzerlegung des
> Nenners vorgenommen:
> [mm]\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-1}[/mm]
>
> A= [mm]\bruch{2}{3}[/mm] und [mm]B=\bruch{1}{3}[/mm]
> Jetzt müsste ich dies an die geometrische Reihe anpassen,
> leider weiß ich nicht wie man das macht. Kann mir das
> jemand erklären?
Du hast ja nun (ich habe es nicht nachgerechnet, daher hoffe ich, Deine Rechnung stimmt)
[mm] $f(x)=\blue{\frac{2}{3}*\frac{1}{x+2}}+\green{\frac{1}{3}*\frac{1}{x-1}}$ [/mm]
Das ist im Prinzip die Summe zweier Potenzreihen (mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$), [/mm] die Du dort stehen hast. (Du siehst es nur vielleicht noch nicht direkt.)
Erinnere Dich an die Formel
[mm] $(\star)$ $\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}$ [/mm] für alle $|z| < 1$.
(Noch besser wäre es, Du machst Dir klar:
Die Potenzreihe [mm] $g(x):=\sum_{k=0}^\infty x^k$ [/mm] hat Konvergenzradius [mm] $\black{1}$ [/mm] und so gilt für alle $|x| < 1$ wegen [mm] $(\star)$
[/mm]
[mm] $g(x)=\frac{1}{1-x}$.)
[/mm]
Nun nutze aus:
[mm] $\blue{\frac{2}{3}*\frac{1}{x+2}}=\frac{2}{3}*\frac{1}{2+x}=\frac{2}{3}*\frac{1}{2*\left(1+\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{3}*\frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}$
[/mm]
Nun setze [mm] $z=-\frac{x}{2}$ [/mm] und guck' in [mm] $(\star)$ [/mm] (bzw. in das, was in der Klammer dahinter steht mit $g(x)=...$ etc.), um zu sehen, wie sich damit [mm] $\frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}$ [/mm] als Potenzreihe schreiben läßt und welchen Konvergenzradius diese Potenzreihe hat
(Beachte dabei: Die Potenzreihe in [mm] $z=-\frac{x}{2}$ [/mm] hat Konvergenzradius $1$ (also bzgl. $z$). Was heißt dass dann für zugehörige Potenzreihe in $x=-2z$? Welchen Konvergenzradius hat diese (bgl. $x$)?)
Und um [mm] $\frac{1}{3}*\frac{1}{x-1}$ [/mm] umzuformen:
[mm] $\frac{1}{3}*\frac{1}{x-1}=\;-\;\frac{1}{3}*\frac{1}{1-x}$
[/mm]
und nun wieder der Blick in [mm] $(\star)$.
[/mm]
Am Ende:
[mm] $\black{f}$ [/mm] läßt sich schreiben als die Summe zweier Potenzreihen mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0=0$. [/mm] Die erste Potenzreihe dieser Summe hat Konvergenzradius [mm] $R_1=...$ [/mm] und die zweite Potenzreihe hat Konvergenzradius [mm] $R_2=...$
[/mm]
Für alle $x$ mit $|x| < [mm] R:=\min\{R_1,R_2\}$ [/mm] konvergieren also beide Potenzreihen rechterhand und daher gilt dann dort [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty... x^k$
[/mm]
Für alle $|x| > R$ divergiert [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^\infty... x^k$, [/mm] weil dann ...
Also:
Wie sieht die Potenzreihenentwicklung von [mm] $\black{f}$ [/mm] nun aus und was ist [mm] $R=\min\{R_1,R_2\}$?
[/mm]
P.S.:
Die $...$ solltest Du natürlich ergänzen 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Marcel, vielen Dank für die ausführliche Antwort 
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