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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Do 22.05.2008 | | Autor: | herben |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung der Funktion [mm]Artanh[/mm] in [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Hinweis: Beachten Sie, dass für [mm] |x|\le[/mm] [mm]1[/mm] gilt:
[mm]Artanh'(x)=\bruch{1}{1-x^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1+x}+\bruch{1}{1-x}\right)[/mm] |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe, wäre sehr freundlich wenn da mal jemand drüber schauen könnte:
Also ich habe zunächst mal [mm]artanh[/mm] ein paar mal abegleitet um eine Regelmäßigkeit festzustellen, was mir auch gelungen ist:
[mm]artanh'[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1+x}+\bruch{1}{1-x}\right)
[/mm]
[mm]artanh''[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{-1}{(1+x)^2}+\bruch{1}{(1-x)^2}\right)
[/mm]
[mm]artanh'''[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{2}{(1+x)^3}+\bruch{2}{(1-x)^3}\right)
[/mm]
[mm]artanh^{(4)}[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{-6}{(1+x)^4}+\bruch{6}{(1-x)^4}\right)
[/mm]
...
[mm]artanh^{(k)}[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{(-1)^{k+1}(k-1)!}{(1+x)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}\right)
[/mm]
Jetzt zur Potenzreihenentwicklung:
[mm]artanh(x)=[/mm][mm] \bruch{1}{2}log\left(\bruch{1+a}{1-a}\right)+\bruch{1}{2}\summe_{k\ge 1}\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}(k-1)!}{(1+a)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-a)^k}}{k!}(x-a)^k [/mm] für [mm] a=\bruch{1}{2} [/mm] gilt dann
[mm] \bruch{1}{2}log(3)+\bruch{1}{2}\summe_{k\ge 1}\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}(k-1)!}{(\bruch{3}{2})^k}+\bruch{(k-1)!}{(\bruch{1}{2})^k}}{k!}(x-a)^k
[/mm]
Jetzt zu meinen Fragen: 1.Ist das überhaupt so richtig? und 2. falls das richtig ist, bin jetzt schon fertig oder muss ich da noch was machen (umformen, etc?)
Besten Dank schon mal im Voraus.
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie die Potenzreihenentwicklung der Funktion
> [mm]Artanh[/mm] in [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
> Hinweis: Beachten Sie, dass für [mm]|x|\le[/mm] [mm]1[/mm] gilt:
>
> [mm]Artanh'(x)=\bruch{1}{1-x^2}=\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1+x}+\bruch{1}{1-x}\right)[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe, wäre sehr
> freundlich wenn da mal jemand drüber schauen könnte:
>
> Also ich habe zunächst mal [mm]artanh[/mm] ein paar mal abegleitet
> um eine Regelmäßigkeit festzustellen, was mir auch gelungen
> ist:
>
> [mm]artanh'[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1+x}+\bruch{1}{1-x}\right)[/mm]
>
> [mm]artanh''[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{-1}{(1+x)^2}+\bruch{1}{(1-x)^2}\right)[/mm]
>
> [mm]artanh'''[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{2}{(1+x)^3}+\bruch{2}{(1-x)^3}\right)[/mm]
>
> [mm]artanh^{(4)}[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{-6}{(1+x)^4}+\bruch{6}{(1-x)^4}\right)[/mm]
>
> ...
> [mm]artanh^{(k)}[/mm][mm] =\bruch{1}{2}\left(\bruch{(-1)^{k+1}(k-1)!}{(1+x)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-x)^k}\right)[/mm]
Dies müsstest Du im Prinzip wohl etwas genauer begründen. Ich denke, dass Dich der Hinweis bei der Aufgabenstellung eigentlich auf einen anderen Weg zur Bestimmung der Reihenentwicklung von [mm] $\mathrm{artanh}'(x)$ [/mm] hätte führen sollen, denn es ist ja
[mm]\frac{1}{1+x}=\frac{1}{\frac{3}{2}+\big(x-\frac{1}{2}\big)}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{2}{3}\big(x-\frac{1}{2}\big)}=\frac{2}{3}\cdot \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^k \big(x-\frac{1}{2}\big)^k[/mm]
und
[mm]\frac{1}{1-x}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\big(x-\frac{1}{2}\big)}=2\cdot\frac{1}{1-2\big(x-\frac{1}{2}\big)}=2\cdot\sum_{k=0}^\infty 2^k\big(x-\frac{1}{2}\big)^k[/mm]
Dieser Weg erspart einem jedenfalls etwas Arbeiten und Tüfteln/Vermuten, im Vergleich zum Weg über die wiederholte Ableitung von [mm] $\mathrm{artanh}'(x)$. [/mm] Ein induktives Argument für die Rechtfertigung Deiner Vermutung über die allgemeine Form von [mm] $\mathrm{artanh}^{(k)}(x)$ [/mm] erübrigt sich bei diesem alternativen Weg ebenfalls.
> Jetzt zur Potenzreihenentwicklung:
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> [mm]artanh(x)=[/mm][mm] \bruch{1}{2}log\left(\bruch{1+a}{1-a}\right)+\bruch{1}{2}\summe_{k\ge 1}\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}(k-1)!}{(1+a)^k}+\bruch{(k-1)!}{(1-a)^k}}{k!}(x-a)^k[/mm]
> für [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm] gilt dann
>
> [mm]\bruch{1}{2}log(3)+\bruch{1}{2}\summe_{k\ge 1}\bruch{\bruch{(-1)^{k+1}(k-1)!}{(\bruch{3}{2})^k}+\bruch{(k-1)!}{(\bruch{1}{2})^k}}{k!}(x-a)^k[/mm]
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> Jetzt zu meinen Fragen: 1.Ist das überhaupt so richtig?
Sieht meiner Meinung nach richtig, aber noch etwas gar verwirrend aus.
> und
> 2. falls das richtig ist, bin jetzt schon fertig oder muss
> ich da noch was machen (umformen, etc?)
Na, die offensichtlichsten Umformungen würde ich beim Koeffizienten von [mm] $\big(x-\frac{1}{2}\big)^k$ [/mm] schon noch vornehmen wollen. So kannst Du z.B. $(k-1)!$ gegen $k!$ kürzen, so dass nur noch $k$ im Nenner des Gesamtbruches bleibt.
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