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Hallo!
Bin am verzweifeln (:
Ich muss bis morgen eine Näherungsfunktion mit Hilfe der Taylor-Reihe für f(x)=1/(1+x²) aufstellen.
Habe x² durch z substituiert und bin dann auf die Annahme gekommen, dass:
1/(1+z)= [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^n [/mm] * [mm] x^n [/mm] ]
//Bitte verzeiht meine Schreibweise, werd mich bessern
Will ich aber nun den Konvergenzradius ermitteln mit:
(an+1/an) < 1
//n+1 und n sind INDEX!
komme ich mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] statt auf 0, auf x
Bin schon ganz konfus, bitte helft mir...
Danke
Gruß
Tim
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tim,
statt den ganzen Ausdruck zu betrachten, werden nur die Reihenglieder betrachtet.
Die Taylor'sche Reihe ergibt:
[mm]\frac{1}{{1\; + \;x^{2} }}\; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^k \;x^{2k} }[/mm]
Es gilt dann mit dem Quotientenkriterium:
[mm]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {\frac{{a_{n + 1} }}
{{a_n }}} \right|\; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + 1} }}
{{\left( { - 1} \right)^n }}} \right|\; = \;1\; = \;\frac{1}
{\rho }[/mm]
Das heisst der Konvergenzradius [mm]\rho[/mm]ist 1.
Das heisst wiederum die Reihe konvergiert für alle |x| < 1.
Gruß
MathePower
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