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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Do 03.05.2007 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion f im Punkt [mm] $z_0$ [/mm] in eine Potenzreihe:
[mm] $f:\mathbb{C}\setminus\{2\}\to\mathbb{C},f(z)\mapsto \frac{z^3}{z^2-4z+4},z_0=1$ [/mm] |
Hallo!
Komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiteer. Hab zuerst Polynomdivision gemacht, dann Partialbruchzerlegung, und komme dann auf:
[mm] $f(z)=z+4+\frac{12}{z-2}+\frac{8}{(z-2)^2}$.
[/mm]
Den mittleren Term, also [mm] $\frac{12}{z-2}$ [/mm] kann man ganz einfach in eine Reihe umwandeln, mit Hilfe der geometrischen Reihe, das ist mir auch total klar. Nur die anderen Terme???
Wie geht man da vor?
Achja, was vielleicht noch wichtig sein könnte, die Aufgabe davor war, die Funktion [mm] $f:\mathbb{C}\setminus\{2\}\to\mathbb{C},f(z)\mapsto \frac{1}{z-2},z_0=1$ [/mm] in eine Potenzreihe umzuwandeln, dies ist mir auch gelungen, und zwar: $f(z)=- [mm] \sum_{n=0}^{\infty}{(z-1)^n}$ [/mm] mit Konvergenzradius 1 (um [mm] $z_0=1$).
[/mm]
Vielen Dank schon mal für euere Antworten!
Cruemel
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> Entwickeln Sie die Funktion f im Punkt [mm]z_0[/mm] in eine
> Potenzreihe:
> [mm]f:\mathbb{C}\setminus\{2\}\to\mathbb{C},f(z)\mapsto \frac{z^3}{z^2-4z+4},z_0=1[/mm]
> [mm]f(z)=z+4+\frac{12}{z-2}+\frac{8}{(z-2)^2}[/mm].
Hallo,
mach eine ![[]](/images/popup.gif) Taylorentwicklung im Punkt [mm] z_0=1. [/mm] Dazu brauchst Du die n-ten Ableitungen im Entwicklungspunkt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 03.05.2007 | | Autor: | cruemel |
Hallo,
Wir sollen das ohne Taylorentwicklung machen, sondern indem wir die Terme auf bekannte Reihen zurückführen. Daher müsste es auch anders gehen. Hat keiner eine Idee wie das auf diese Weise gehen könnte?
Grüße
Cruemel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 03.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
der zweite Term ist praktisch (bis auf Vorz) die Ableitung des ersten, also leit die Reihe innerhalb des Konvergenzradius ab.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 03.05.2007 | | Autor: | cruemel |
Super, Vielen Dank!
Bin inzwischen bei $f(z)= [mm] z+4+\sum_{n=0}^{\infty}(8n-4)(z-1)^n$.
[/mm]
Nun bin ich mir nur nicht sicher, ob ich das $z+4$ so stehen lassen kann, oder ob ich das noch irgendwie in die summe reinbringen muss?
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank schon mal!
Cruemel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Do 03.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würd das in der Form 5+(z-1) noch reinbringen. evt. kannst du die ersten 2 Summenglieder einzeln schreiben und die allg, Summe erst bei 2 anfangen lassen, aber es sollten alles Potenzen vom Gleichen sein. Ist aber ja nur ne Schönheitssache.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Do 03.05.2007 | | Autor: | cruemel |
Vielen Dank nochmal, alleine hätt ich die Lösung nicht rausbekommen!!!
Grüße
Cruemel
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