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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Mo 30.01.2006 | | Autor: | chrixx |
| Aufgabe | Vorgelegt ist die Funktion
f(x) = $ [mm] \bruch{e^{-x^{2}}-1}{x^{2}} [/mm] $ :
Stellen Sie f(x) in Form einer Potenzreihe dar. (Empfehlung: Substitution) es genügt die Angabe der ersten fünf Summanden.
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Ich bin hier fast am Verzweifeln. Die Substitution $ [mm] u=x^{-2} [/mm] $
leuchtet ein. Die Reihe für $ [mm] e^{x} [/mm] $ ist mir auch bekannt.
Aber wie muss ich dann weiter verfahren?
Ich komme einfach nicht auf die Lösung:
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:45 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Christian,
also eigentlich kannst du mit dem, was du hingeschrieben hast, die Aufgabe bereits lösen:
Substituiere doch zunächst mal [mm] $u(x)=x^{-2}$ [/mm] in dem Term [mm] $\bruch{e^{-x^{2}}-1}{x^{2}}$.
[/mm]
Die Exponentialfunktion ersetzt du dann durch ihre Potenzreihe.
Den entstehenden Term brauchst du eigentlich nur ein bisschen umzuformen und am Schluss wieder $x$ für $u$ einzusetzen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste so etwas wie
[mm] $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x^{2n}$ [/mm] herauskommen.
Schreib doch bitte mal genau, an welcher Stelle du stecken bleibst.
Ich bin sicher, dass ich (oder jemand anders) dir dann konkreter weiterhelfen können.
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:04 Mo 30.01.2006 | | Autor: | chrixx |
Guten Morgen Yuma,
erst mal vielen Dank für die Antwort, und das mitten in der Nacht ;)!
Mein Problem ist genau der nächste Schritt nach dem Substituieren.
Die Potenzreihe für $ [mm] e^x [/mm] $ ist mir ja bekannt.
Aber wie verfahre ich dann weiter, wenn ich $ [mm] \bruch{{e^u}-1}{u}$ [/mm] habe?
Bzw. wie baue ich dann die Potenzreihe in die Gleichung ein?
Um es ganz klar auszudrücken: Wie gehts jetzt weiter?
$ [mm] f(x)=\bruch{ (\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{n!}x^n)-1 }{u} [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mo 30.01.2006 | | Autor: | chrixx |
Nochmal zum mitdenken.
Am Anfang habe ich $ [mm] f(x)=\bruch{e^{-x^{2}}-1}{x^{2}} [/mm] $.
Dann substituiere ich mit $ [mm] u=-x^2$
[/mm]
Dann setze ich diese Substitution ein und erhalte: [mm] $f(u)=\bruch{{e^u}-1}{-u} [/mm] $.
Diese Substitution muss jetzt aber stimmen.
Jetzt setze ich die Potenzreihe der e-Funktion anstelle von [mm] $e^u$ [/mm] ein.
Muss ich im nächsten Schritt von jedem Glied der Summe die "1" abziehen
und durch "u" teilen? Oder wie behandle ich die Summe?
Kann es sein, dass ich mich zu kompliziert ausdrücke :)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 30.01.2006 | | Autor: | chrixx |
Der Hammer, jetzt habe selbst ich es kapiert!
Vielen lieben Dank für Deine Bemühungen  !
Jetzt habe ich nur noch eine kleine Frage zu
dem Thema, bzw. hoffe, dass sie klein ist.
Wie ist es jetzt wenn ich einen anderen Entwicklungspunkt
habe? Zum Beispiel $ [mm] x_{0} [/mm] = 1$?
Dann kann ich das Thema abhaken...
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