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| Aufgabe | | Leiten Sie die geometrische Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] ab und geben Sie eine Potenzreihendarstellung der Funktion [mm] \bruch{1}{(2-x)^{2}} [/mm] an. |
Die Ableitung der geometrischen Reihe ist laut meiner Berechnung:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}}
[/mm]
Ich komme jedoch nicht auf die Potenzreihendarstellung des zweiten Terms.
Hat jemand eine Idee/Lösung dazu?
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> Leiten Sie die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] ab und geben Sie eine
> Potenzreihendarstellung der Funktion [mm]\bruch{1}{(2-x)^{2}}[/mm]
> an.
> Die Ableitung der geometrischen Reihe ist laut meiner
> Berechnung:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm]
>
> Ich komme jedoch nicht auf die Potenzreihendarstellung des
> zweiten Terms.
> Hat jemand eine Idee/Lösung dazu?
Hallo Tommy,
du hast ja jetzt schon eine Reihendarstellung für [mm]\bruch{1}{(1-x)^{2}}[/mm]
Das einzige was stört, ist der Ausdruck (1-x) , an dessen
Stelle (2-x) stehen sollte. Dies lässt sich bestimmt mit
einer einfachen Substitution lösen:
Schreib' zum Beispiel anstelle von (2-x) den Ausdruck
2*(1-u) , wobei natürlich u = x/2 sein muss !
LG al-Chwarizmi
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