Potenzreihen entwicklung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Sa 13.04.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Finde die Potenzreihenentwicklung von
[mm] \frac{1}{1+z^2}, \frac{1}{2-3z}, \frac{1}{(1-z)^2} [/mm] |
hallo
Eine Potenzreihe hat die Gestalt
[mm] f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k*(z-z_0)^k
[/mm]
bei Entwicklung an der Stelle [mm] z_0
[/mm]
bzw.
[mm] f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k*z^k
[/mm]
bei Entwicklung an der Stelle 0
f(z)= [mm] \frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1-(-z^2)}
[/mm]
für [mm] |z^2| [/mm] < 1
[mm] =\sum_{k=0}^\infty (-z^2)^k [/mm]
Wie hat das nun die obere Gestalt?
[mm] \frac{1}{2-3z} [/mm] =2* [mm] \frac{1}{1-6z}
[/mm]
für | 6z|<1
2 [mm] \sum_{k=0}^\infty (6z)^k [/mm] =2 [mm] \sum_{k=0}^\infty (2*3)^k z^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty 2^{k+1} 3^k z^k
[/mm]
Hier ist es ja auch nicht ganz die obige gestalt?
Mussen ich immer am Punkt 0 enwickeln?
Könnt ihr mir einen Tipp zum dritten geben?
|
|
| |
|
Hallo quasimo,
> Finde die Potenzreihenentwicklung von
> [mm]\frac{1}{1+z^2}, \frac{1}{2-3z}, \frac{1}{(1-z)^2}[/mm]
> hallo
> Eine Potenzreihe hat die Gestalt
> [mm]f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k*(z-z_0)^k[/mm]
> bei Entwicklung an
> der Stelle [mm]z_0[/mm]
> bzw.
> [mm]f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k*z^k[/mm]
> bei Entwicklung an der
> Stelle 0
>
> f(z)= [mm]\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{1-(-z^2)}[/mm]
> für [mm]|z^2|[/mm] < 1
> [mm]=\sum_{k=0}^\infty (-z^2)^k[/mm]
> Wie hat das nun die obere Gestalt?
>
Um obige Gestalt zu erreichen,
sind die Koeffizienten entsprechend zu definieren:
[mm]a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right[/mm]
> [mm]\frac{1}{2-3z}[/mm] =2* [mm]\frac{1}{1-6z}[/mm]
> für | 6z|<1
> 2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (6z)^k[/mm] =2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (2*3)^k z^k[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^\infty 2^{k+1} 3^k z^k[/mm]
> Hier ist es ja auch
> nicht ganz die obige gestalt?
Das ist schin in der obigen Gestalt.
> Mussen ich immer am Punkt 0 enwickeln?
>
Nein, sofern nichts anderes vorgegeben ist der Punkt 0.
> Könnt ihr mir einen Tipp zum dritten geben?
Bestimme die Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm]
Dann gibt es 2 Möglichkeiten, um an die geforderte Potenzreihe zu gelangen:
a) Multipliziere die berechnete Potenzreihe mit sich selbst.
b) Differenziere die gegebene Potenzreihe.
Das darfst Du aber nur innerhalb des Konvergenzbereiches.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Sa 13.04.2013 | | Autor: | quasimo |
> Um obige Gestalt zu erreichen,
> sind die Koeffizienten entsprechend zu definieren:
>
> [mm]a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right[/mm]
Ah du schreibst es um auf:
[mm] \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (z^{2k})
[/mm]
> > [mm]\frac{1}{2-3z}[/mm] =2* [mm]\frac{1}{1-6z}[/mm]
> > für | 6z|<1
> > 2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (6z)^k[/mm] =2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (2*3)^k z^k[/mm]
> > = [mm]\sum_{k=0}^\infty 2^{k+1} 3^k z^k[/mm]
> > Hier ist es ja
> auch
> > nicht ganz die obige gestalt?
>
>
> Das ist schin in der obigen Gestalt.
-> [mm] a_n [/mm] = [mm] 2^{n-1} 3^n
[/mm]
> Bestimme die Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm]
f(z)= [mm] \frac{1}{1-z}
[/mm]
für |z| < 1
[mm] \sum_{k=0}^\infty z^k
[/mm]
[mm] \frac{1}{1-z} *\frac{1}{1-z} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^\infty z^k [/mm] * [mm] \sum_{k=0}^\infty z^k [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^m z^n [/mm] * [mm] z^{m-n} [/mm] = [mm] \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^m z^m [/mm] = (m+1) [mm] z^m
[/mm]
-> [mm] a_n [/mm] = n+1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 So 14.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Um obige Gestalt zu erreichen,
> > sind die Koeffizienten entsprechend zu definieren:
> >
> > [mm]a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right[/mm]
>
> Ah du schreibst es um auf:
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (-1)^k (z^{2k})[/mm]
>
>
> > > [mm]\frac{1}{2-3z}[/mm] =2* [mm]\frac{1}{1-6z}[/mm]
> > > für | 6z|<1
> > > 2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (6z)^k[/mm] =2 [mm]\sum_{k=0}^\infty (2*3)^k z^k[/mm]
> > > = [mm]\sum_{k=0}^\infty 2^{k+1} 3^k z^k[/mm]
> > > Hier ist es
> ja
> > auch
> > > nicht ganz die obige gestalt?
> >
> >
> > Das ist schin in der obigen Gestalt.
> -> [mm]a_n[/mm] = [mm]2^{n-1} 3^n[/mm]
>
>
> > Bestimme die Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm]
> f(z)= [mm]\frac{1}{1-z}[/mm]
> für |z| < 1
> [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k[/mm]
> [mm]\frac{1}{1-z} *\frac{1}{1-z}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k[/mm] * [mm]\sum_{k=0}^\infty z^k[/mm] =
> [mm]\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^m z^n[/mm] * [mm]z^{m-n}[/mm] =
> [mm]\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^m z^m[/mm] = (m+1) [mm]z^m[/mm]
> -> [mm]a_n[/mm] = n+1
Am Ende muß doch stehen
.... = [mm] \sum_{m=0}^\infty [/mm] (m+1) [mm]z^m[/mm]
fred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Sa 13.04.2013 | | Autor: | quasimo |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo, noch eine Frage bezüglich des Konvergenzradius:
> $ a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right $
Also ist der Konvergenzradius automatisch 0 weil wenn n ungerade ist der Koeffizient 0 und bei geraden wechselt das Vorzeichen das Koeffizienten.?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 So 14.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, noch eine Frage bezüglich des Konvergenzradius:
> > [mm]a_{n}=\left\{\begin{matrix} 0 & \operatorname{, falls \ n \ ungerade} \\ \left(-1\right)^{n/2} & \operatorname{, falls \ n \ gerade} \end{matrix} \right[/mm]
>
> Also ist der Konvergenzradius automatisch 0 weil wenn n
> ungerade ist der Koeffizient 0 und bei geraden wechselt das
> Vorzeichen das Koeffizienten.?
Unsinn. Der Konvergenzradius r ist
$ [mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. [/mm] $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 14.04.2013 | | Autor: | quasimo |
Hallo
> $ [mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. [/mm] $
Ja aber was setzte ich nun ein? 0 oder 1 für [mm] |a_n| [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo
> >
> [mm]r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.[/mm]
> Ja aber was setzte ich nun ein? 0 oder 1 für [mm]|a_n|[/mm] ?
Du hast schon richtig erkannt, dass gilt
[mm] $\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad \mbox{n ungerade}\\
1, \quad \mbox{n gerade}\end{cases}.$
[/mm]
Du "setzt" jetzt gar nichts davon ein! Du hast eine Folge vorgegeben, und musst den Limes Superior von dieser Folge bestimmen. Du kannst WEDER 0 NOCH 1 für die ganze Folge einsetzen, weil diese Folge nicht NUR 0 oder NUR 1 annimmt.
Also: Was ist der Limes Superior einer Folge, welche zwischen den Werten 0 und 1 alterniert?
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
