Potenzreihen entwickeln < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Talianna |
| Aufgabe | | $f : [mm] \IC \to \IC-\{1\}$, [/mm] $f(z) = [mm] \frac{1}{(1-z)^2}$ [/mm] |
Hallo,
Wenn ich eine holomorphe Funktion wie die obige gegeben habe, und soll das Ganze in eine Potenzreihe entwickeln, sagen wir in [mm] $z_0=0$. [/mm] Wie mach ich das? Gibt es dafür irgendwie eine Schritt für Schritt Anleitung, die man befolgen kann? Und wie bestimme ich dann den Konvergenzradius?
Ich fürchte, dass soetwas in der Klausur vorkommen könnte. Da es in der Vorlesung oder Übung jedoch niemand erklärt hat, hab ich keine Idee, wie das funktionieren soll.
Ich weiß, wie ich eine Laurent-Reihe entwickeln muss. Hilft mir das dabei weiter? Und wo ist eigentlich der Unterschied zwischen einer Potenzreihe und einer Laurent-Reihe?
Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.
Vielen Dank schonmal!
Grüße, Talianna
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> [mm]f : \IC \to \IC-\{1\}[/mm], [mm]f(z) = \frac{1}{(1-z)^2}[/mm]
> Hallo,
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> Wenn ich eine holomorphe Funktion wie die obige gegeben
> habe, und soll das Ganze in eine Potenzreihe entwickeln,
> sagen wir in [mm]z_0=0[/mm]. Wie mach ich das? Gibt es dafür
> irgendwie eine Schritt für Schritt Anleitung, die man
> befolgen kann? Und wie bestimme ich dann den
> Konvergenzradius?
was holomorph bedeutet, weiss ich jetzt nicht, aber bei deinem f(z) sollte man zunächst an F(z) denken:
f(z) = [mm] \frac{1}{(1-z)^2}
[/mm]
[mm] F(z)=\frac{1}{1-z}
[/mm]
diesen bruch kann man, wenn man an den grenzwert einer geometrischen reihe denkt, umwandeln zu
[mm] F(z)=\summe_{n=0}^{\infty}z^n
[/mm]
nun darf man potenzreihen summandenweise differenzieren, und es wird:
[mm] F'(z)=f(z)=\summe_{n=\red{1}}^{\infty}n*z^{n-1}
[/mm]
sieht bis auf den exponenten dann schon fast fertig aus.. also noch eine kleine indexverschiebung, damit der laufindex bei 0 beginnt.
substitution: i=n-1
[mm] f(z)=\summe_{n=\red{1}}^{\infty}n*z^{n-1}=\summe_{i=0}^{\infty}(i+1)*z^{i}
[/mm]
>
> Ich fürchte, dass soetwas in der Klausur vorkommen
> könnte. Da es in der Vorlesung oder Übung jedoch niemand
> erklärt hat, hab ich keine Idee, wie das funktionieren
> soll.
>
> Ich weiß, wie ich eine Laurent-Reihe entwickeln muss.
> Hilft mir das dabei weiter? Und wo ist eigentlich der
> Unterschied zwischen einer Potenzreihe und einer
> Laurent-Reihe?
wiki sagt:
Die Laurent-Reihe (nach Pierre Alphonse Laurent) ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten.
aber da hab ich auch keinen schimmer von ;)
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> Ich hoffe, dass mir jemand dabei helfen kann.
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> Grüße, Talianna
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 25.08.2010 | | Autor: | Talianna |
Naja, den Lösungsweg für diese eine Aufgabe habe ich ja.
Ich hatte mehr auf eine allgemeine Anleitung gehofft, welche Schritte man gehen muss, und vielleicht auch, warum man diese Schritte geht.
Und wie bestimme ich den Konvergenzradius?
Grüße
Talianna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mi 25.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Potenzreihe = Taylorreihe siehe wiki
2. konvergenzradius sieh ebenda
Gruss leduart
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