Potenzreihen, Koeffizienten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 07.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Für die Hyperbelfunktionen sinh und cosh gilt
sinh(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}/(2n+1)! [/mm] und cosh(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{2n}/(2n)! [/mm] Berechnen Sie die Potenzreihen von sinh + cosh, sinh * cosh, [mm] \integral_{0}^{x}{sinh(x)*cosh(x) dx} [/mm] und (sinh * cosh)´. Tipp: Es gilt [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = n! / (k! * (n - k)!) und [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] . |
Hallo liebe Matheraum- Community. Ich verstehe bereits den Ansatz der mir vorliegende Musterlösung nicht. Und beginnt sie folgendermaßen: Bezeichnen [mm] a_{n} [/mm] die Koeffizienten der Potenzreihe von sinh und [mm] b_{n} [/mm] die von cosh, dann gilt [mm] a_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ 1/n!, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] und [mm] b_{b}=\begin{cases} 1/n!, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] . Ich würde gerne wissen, wie man genau auf diese Fallunterscheidung kommt. Ich meine, wenn ich bei den beiden gegebenen Funktion jeweils ein [mm] x^{n} [/mm] ausklammere und somit meine Koeffizienten erhalten und schließlich für n gerade oder ungerade Werte einsetze, komme ich werder auf 0 noch auf 1/n! . Was genau muss man tun, um auf diese Fallunterscheidungen zu kommen? Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Do 07.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schrieb dir die Summe, die da als Summenzeichen steht, mal aus. Dann wirst du feststellen, dsas bei der einen nur gerade Zahle stehen, und bei der anderen wegen 2n+1 nur ungerade Zahlen stehen.
Wie gesagt, schreib dir die Reihe mal aus. Und dann erkennst du, dass man in den Potenzen von x einmal nur gerade Zahlen stehen hat, das andere mal nur ungerade. Daraus folgt man dann eben, dass da, wo nur gerade Potenzen stehen muss, der Koeffizient der Potenzreihe für n=ungerade 0 sein muss, und umgekehrt.
Damit man nicht ständig diese Fallunterscheidung machen muss, schreibt man dann eben in der "endügltigen" Fassung [mm] $x^{2n+1}$, [/mm] damit man einfach durch alle n durchgehen kann, und dann nur noch die ungeraden Zahlen da stehen hat.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 07.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Okay, das war schon mal eine gute Antwort, vielen Dank. Wo die Nullen herkommen, kann ich nun erkennen. Wie aber kommt man in den Fallunterscheidungen jeweils auf 1/n!? Dazu müsste ja in jedem Sumannden x den Wert 1 haben. Woher aber weiss man, dass x=1 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Do 07.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wir reden doch nur über die Koeffizienten.
Wenn du die [mm] a_n [/mm] nimmst, dann schaut deine Reihe so aus:
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$
[/mm]
Und wenn du das jetzt so hinschreibst mit den Fallunterscheidungen für [mm] a_n, [/mm] wirst du feststellen, dass das genau das selbe ist, wie die sinh-Reihe.
Mit deinem [mm] b_n [/mm] gehts dann analog.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Do 07.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Das ist mir klar. Aber wie kommt man auf die 1/n! in der Fallunterscheidung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Do 07.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
sorry, da hab ich dich falsch verstanden.
Wenn du dir die Reihe hinschreibst, dann siehst du, dass das ganze mit [mm] $\frac{1}{n!}$ [/mm] geht.
Dass da in der sinh-Reihe [mm] $\frac{1}{(2n+1)!}$ [/mm] steht, hängt auch einfach nur damit zusammen, dass man nur die ungeraden Zahlen "rausfiltern" will.
Wenn man da jetzt nur [mm] $\frac{1}{n!}$ [/mm] hinschreibt, dann muss man eben auch wieder die Fallunterscheidung hinpacken, dass für n gerade der Koeffizient Null wird.
Schreib dir die Reihe nochmal richtig hin, und dann siehst du, dass in der einen Reihe nur ungearde Koeffizienten auftauchen. Das kann man dann einfach wieder so umschreiben, indem man ein paar Koeffizienten gleich 0 setzt, und den Rest dann gleich [mm] $\frac{1}{n!}$.
[/mm]
Eine ebessere Erkärung kann ich dir da jeztt leider nicht für geben, als dass man es durch "hinsehen" sieht... =(
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 07.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ausgeschrieben steht dann bsp. für sinh ja dort: [mm] x^{1}/1!+x^{3}/3!+...+x^{n}/n! [/mm] . Da steht ja jetzt im Zähler jeweils ein x als Basis. Wieso aber ist dann x am Ende = 1? Ich meine, anders kann man ja nicht auf die 1/n! kommen, oder? Tut mir leid wenn ich gerade ein Brett vor dem Kopf habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Do 07.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
warum sollte x=1 sein? Das steht da doch nirgendwo.
Ich glaube schon, dass dein Problem darin liegt, dass du der Meinung bist, dass dort hinterher als Reihe nur steht:
[mm] $a_0+a_1+a_2+a_3+\dots$, [/mm] kann das sein?
Weil dann verstehe ich, warum du meinst, dass x=1 sein sollte.
Die Reihe schaut aber hinterher so aus:
[mm] $a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+\dots$
[/mm]
Die [mm] $a_n$, [/mm] die dort festgelegt wurden, sind nur die Koeffizienten. Das sind also nur die Vorfaktoren, die vor dem [mm] $x^n$ [/mm] stehen. Die [mm] $x^n$ [/mm] bleiben da immer stehen!
Nochmal in vlt. anderen Worten:
Die [mm] $a_n$ [/mm] sind die Vorfaktoren, also die Zahlen, die immer vor dem [mm] $x^n$ [/mm] stehen. D.h. wenn wir eine Potenzreihe [mm] $\sum_i a_ix^i$ [/mm] haben, und sagen, dass [mm] $a_i=1$ [/mm] für alle i, dann würde die Reihe nicht so aussehen:
[mm] $1+1+1+1+1+\dots$, [/mm] sondern [mm] $1+1*x+1*x^2+1*x^3+1*x^4+\dots$
[/mm]
Ist es nun klarer, warum die Koeffizienten [mm] $\frac{1}{n!}$ [/mm] und mal 0 sind?
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 07.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Das ist mir klar. Frage mich, wie der Zähler am Ende immer 1 sein kann, obwohl in den Partialsummen der Reihe immer ein x mit Exponent im Zähler steht. Möglicherweise reden wir aneinander vorbei.  Trotzdem vielen Dank für deine Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 07.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das ist genau das Problem, was ich meine, gesehen zu haben.
Das x geöhrt nicht zu den Koeffizienten [mm] a_n!
[/mm]
Eine Potenzreihe schaut doch so aus:
[mm] $a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+\dots$
[/mm]
Die "a" sind die Koeffizienten. Und genau die Koeffizienten legt man durch die Vorschrift in deinem ersten Post fest.
Die "x" gehören NICHT zu den Koeffizienten!
Das sind ja alles Potenzreihen, und da sind stehen die "x" doch sowieso immer als x da.
Wenn du jetzt deine Definition von [mm] a_n [/mm] anwendest, und die Reihe als
[mm] $a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+\dots$ [/mm] schreibst, dann steht da doch:
[mm] $0*x^0+\frac{1}{1!}*x^1+0*x^2+\frac{1}{3!}*x^3+0*x^4+\frac{1}{5!}x^5+0*x^6+\frac{1}{7!}x^7+\dots$
[/mm]
Und die 0 und die Brüche sind dann eben deine "a", und die x-e stehen da ja sowieso immer, das ist die Definition einer Potenzreihe.
Ist es jetzt klarer?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Do 07.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ja super, ich danke dir. Das hast du gut erklärt. Tut mir leid, wenn es etwas länger gedauert hat. Gruß,
Marcel
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