Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 25.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Die Frage stellt sich mir selbst:
Den Konvergenzradius von Potenzreihen der Form [mm] $\summe_{k=1}^{n}a_n \cdot x^k$ [/mm] kann man mit dem Quotientenkriterium oder nach Cauchy-Hadamard (Wurzelkriterium für Potenzreihen) untersuchen.
Wie ist es aber bei Potenzreihen der Form:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}a_k \cdot x^{k^2}$
[/mm]
oder:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}a_k \cdot x^{2k}$
[/mm]
Speziell würde mich daher auch interessieren, wie man den Konvergenzradius des sin oder des cos berechnet, also:
[mm] $cos(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}$
[/mm]
und
[mm] $sin(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}$ [/mm] |
Guten Abend,
Es wäre wirklich toll, wenn mir jemand genau erklären könnte, wie man bei solchen Aufgaben zum Ziel (also dem korrekten Konvergenzradius) kommt.
Gibt es hier einen allgemeinen Ansatz um Aufgaben dieser Gestalt zu lösen?
Wenn ja wäre ich sehr froh über eine detaillierte Erklärung.
Gruß und danke wieder mal,
Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 So 25.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. cos und sin sind alternierende Reihen, also müssen nach Leibniz nur die [mm] a_kx^k [/mm] eine monotone Nullfolge bilden, was leicht zu sehen ist. bei [mm] x^{2k} [/mm] betrachtest du die Konvergenz für [mm] z=x^2.
[/mm]
bei [mm] x^{k^2} [/mm] betrachtest du den gesamten Ausdruck in Quotientenkrterium.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 25.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Hallo,
> Hallo
> 1. cos und sin sind alternierende Reihen, also müssen
> nach Leibniz nur die [mm]a_kx^k[/mm] eine monotone Nullfolge bilden,
> was leicht zu sehen ist. bei [mm]x^{2k}[/mm] betrachtest du die
> Konvergenz für [mm]z=x^2.[/mm]
> bei [mm]x^{k^2}[/mm] betrachtest du den gesamten Ausdruck in
> Quotientenkrterium.
> gruss leduart
>
Substituiert man also etwa?
würde ich dann einfach da stehen haben [mm] z^k?
[/mm]
Wie geht das dann weiter? muss man dann wieder zurücksubstituieren?
Was meinst du mit "den gesamten Ausdruck betrachten"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Mo 26.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.ja, wenn du für z den radius 4 raus hast, dann für x den Radius 2.
2, [mm] a_{k+1}*x^{(k+1)^2}/(a_k*x^{k^2}
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
> Hallo
> 1.ja, wenn du für z den radius 4 raus hast, dann für x
> den Radius 2.
> 2, [mm]a_{k+1}*x^{(k+1)^2}/(a_k*x^{k^2}[/mm]
> gruss leduart
>
Gibt es denn keine allgemeinen Lösungsansätze, die besagen, wann was getan werden muss?
Zu deinem 2.:
Das verstehe ich leider überhaupt nicht, da wir das [mm] "x^{irgendwas}" [/mm] noch nie im Quotienten oder Wurzelkriterium mit untersucht haben. Wir haben immer nur die Folge [mm] a_n [/mm] vor dem "x" betrachtet. Es wurde auch gesagt, man dürfe dieses [mm] x^{irgendwas} [/mm] gar nicht mit in die Betrachtung mit einbeziehen.
Ich wollte jetzt auch nicht die spezielle Lösung für meine beiden allgemeinen Beispiele, sondern interessiert mich vielmehr was ich bei ähnlichen Aufgabenstellung dieser Art tun muss.
Also welche allgemeinen Vorgehensweisen mich zum Ziel fürhen.
Vielleicht findet sich ja jemand, der mir ein wenig mehr darüber zu berichten weiß.
Danke trotzdem für deine Hilfe.
Gruß Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:26 Di 27.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hans,
> > Hallo
> > 1.ja, wenn du für z den radius 4 raus hast, dann für
> x
> > den Radius 2.
> > 2, [mm]a_{k+1}*x^{(k+1)^2}/(a_k*x^{k^2}[/mm]
> > gruss leduart
> >
>
> Gibt es denn keine allgemeinen Lösungsansätze, die
> besagen, wann was getan werden muss?
doch - ich habe Dir eine allgemeine Strategie ("auffüllende 0en") geschrieben!
> Zu deinem 2.:
> Das verstehe ich leider überhaupt nicht, da wir das
> [mm]"x^{irgendwas}"[/mm] noch nie im Quotienten oder Wurzelkriterium
> mit untersucht haben. Wir haben immer nur die Folge [mm]a_n[/mm] vor
> dem "x" betrachtet. Es wurde auch gesagt, man dürfe dieses
> [mm]x^{irgendwas}[/mm] gar nicht mit in die Betrachtung mit
> einbeziehen.
>
> Ich wollte jetzt auch nicht die spezielle Lösung für
> meine beiden allgemeinen Beispiele, sondern interessiert
> mich vielmehr was ich bei ähnlichen Aufgabenstellung
> dieser Art tun muss.
> Also welche allgemeinen Vorgehensweisen mich zum Ziel
> fürhen.
Siehe meine andere Antwort! (Ich habe sowas aber auch schon in etlichen Threads geschrieben -> Forensuche nach meinen Beiträgen zu Potenzreihen könnte also auch helfen!)
> Vielleicht findet sich ja jemand, der mir ein wenig mehr
> darüber zu berichten weiß.
> Danke trotzdem für deine Hilfe.
Ergänzend zur Substitution (die ist durchaus oft geeignet, hier reicht es aber wirklich, erst mal das Beispiel zu verstehen):
Du hattest beispielhaft
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k x^{2k}\,.$$
[/mm]
Das kannst Du nun natürlich auch mit "auffüllenden 0en" behandeln - aber wir wollen ja die Substitution hier (kennen-)lernen:
Obiges ist erstmal keine Potenzreihe. Aber mit der Substitution [mm] $z:=x^2$ [/mm] ist obige Funktionenreihe in [mm] $x\,$ [/mm] sicher konvergent bzw. divergent, wenn
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$$
[/mm]
konvergent bzw. divergent ist. Nun ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ [/mm] eine Potenzreihe in [mm] $z\,$ [/mm] mit dem Konvergenzradius in [mm] $z\,,$ [/mm] für den wir [mm] $r_z$ [/mm] schreiben, wobei
[mm] $$r_z=1/\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}\,.$$
[/mm]
Das bedeutet, dass [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ [/mm] konvergiert, wenn $|z| < [mm] r_z$ [/mm] und divergiert, wenn $|z| > [mm] r_z\,.$
[/mm]
Die Ausgangsfunktionenreihe ("eine Art Potenzreihe" in [mm] $x\,$) $\sum a_k x^{2k}$ [/mm] hat das gleiche Konvergenzverhalten wie die Potenzreihe [mm] $\sum a_k z^k\,,$ [/mm] also konvergiert die Ausgangsfunktionenreihe für [mm] $|x^2| [/mm] < [mm] r_z$ [/mm] und divergiert für [mm] $|x^2| [/mm] > [mm] r_z\,.$ [/mm] Nennen wir [mm] $r_x$ [/mm] den Konvergenzradius für "die Potenzreihe" [mm] $\sum a_k x^{2k}\,,$ [/mm] so konvergiert diese ja, wenn $|x| < [mm] r_x$ [/mm] und divergiert, wenn $|x| > [mm] r_x$ [/mm] (dadurch ist [mm] $r_x$ [/mm] eindeutig bestimmt!).
Oben haben wir erkannt, dass die Ausgangsreihe aber für [mm] $|x^2| [/mm] < [mm] r_z$ [/mm] konvergiert und für [mm] $|x^2| [/mm] > [mm] r_z$ [/mm] divergiert. Wegen [mm] $|x^2|=|x|^2$ [/mm] folgt:
Sie konvergiert für [mm] $|x|^2 [/mm] < [mm] r_z$ [/mm] und divergiert für [mm] $|x|^2 [/mm] > [mm] r_z\,,$ [/mm] bzw. anders gesagt:
Sie konvergiert für $|x| < [mm] \sqrt{r_z}$ [/mm] und divergiert für $|x| > [mm] \sqrt{r_z}\,.$ [/mm] Also ist [mm] $r_x=\sqrt{r_z}$ [/mm] der gesuchte Konvergenzradius.
P.S.
Mit der "Methode der auffüllenden Nullen" hätte man als Ergebnis dann erhalten
[mm] $$r_x=1/\limsup_{k \to \infty}\sqrt[2k]{|a_k|}=1/\sqrt{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}=1/\sqrt{r_z}\,.$$ [/mm]
(Hierbei verwende ich die Bezeichnungen für [mm] $z\,$ [/mm] und [mm] $r_z$ [/mm] aus der Substitutionsmethode.)
Also genau das gleiche wie bei der Substitutionsmethode!
P.P.S.
Manchmal schreibe ich hier der Faulheit wegen [mm] $\sum:=\sum_{k=0}^\infty$
[/mm]
Mal nebenbei:
Wenn ich mir das ganze hier so anschaue, frage ich mich sowieso immer öfter:
Wieso definiert man nicht einfach direkt, dass eine Potenzreihe eine Funktionenreihe der Bauart
[mm] $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^{\phi(k)}$$
[/mm]
mit einer streng monoton wachsenden Abbildung [mm] $\phi: \IN_0 \to \IN_0$ [/mm] ist?
Die ganzen Zwischenüberlegungen von oben kann man dann mithilfe dieser Definition direkt formulieren. Oder übersehe ich etwas?
(Klar, formal ist dann manches ein wenig unschöner wie [mm] $r=1/\limsup_{k \to \infty}\sqrt[\phi(k)]{|a_k|}\,,$ [/mm] aber ich könnte gut damit leben. Was spricht eigentlich gegen eine solche Definition? Denn natürlich sieht das [mm] $f\,$ [/mm] dann genauso aus wie vorher - nur die Teilsummenfolge für jedes [mm] $x\,$ [/mm] sieht ein wenig anders aus. Also schlussendlich steht da genau das gleiche da, nur hier kann man besser verpacken, wie man "allgemein" den Konvergenzradius berechnet - also meinetwegen: Das ganze hat nur eine didaktische Motivation!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Di 27.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Frage stellt sich mir selbst:
>
> Den Konvergenzradius von Potenzreihen der Form
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_n \cdot x^k[/mm] kann man mit dem
> Quotientenkriterium oder nach Cauchy-Hadamard
> (Wurzelkriterium für Potenzreihen) untersuchen.
>
> Wie ist es aber bei Potenzreihen der Form:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k \cdot x^{k^2}[/mm]
lassen wir den Index mal immer bei [mm] $0\,$ [/mm] beginnen (das ist für das folgende eh nicht wesentlich) - der obere Index sollte aber sicher [mm] $\infty$ [/mm] sein und nicht [mm] $n\,$:
[/mm]
Betrachten wir
[mm] $$S(x):=\summe_{k=0}^{\infty}a_k \cdot x^{k^2}\,.$$
[/mm]
Die obige Reihe ist in dieser Form noch nicht wirklich eine Potenzreihe, aber Du kannst Dir überlegen:
Sie hat das gleiche Konvergenzverhalten wie die Reihe
[mm] $$T(x):=\sum_{p=0}^\infty b_p x^p$$
[/mm]
mit
[mm] $$b_p:=\begin{cases} a_k, & \mbox{falls es ein } k \in \IN_0 \mbox{ gibt mit }p=k^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Natürlich haben [mm] $S\,$ [/mm] und [mm] $T\,$ [/mm] nicht die gleichen Teilsummen, daher sind es nicht wirklich die gleichen Reihen, aber sie haben das gleiche Konvergenzverhalten - mach' Dir das unbedingt klar!
(Es ist [mm] $T_0(x)=S_0(x)\,,$ $T_1(x)=T_2(x)=T_3(x)=S_1(x)\,,$ $T_4(x)=T_5(x)=T_6(x)=T_7(x)=T_8(x)=S_3(x)\,,$ $\ldots\,,$ [/mm] wobei [mm] $S_n(x)$ [/mm] bzw. [mm] $T_m(x)$ [/mm] die [mm] $n\,$-te [/mm] bzw. [mm] $m\,$-te [/mm] Teilsumme von [mm] $S(x)\,$ [/mm] bzw. [mm] $T(x)\,$ [/mm] bezeichne!)
[mm] $T\,$ [/mm] hat nun die Form einer Potenzreihe, also kannst Du nach Cauchy-Hadamard dann den Konvergenzradius via
[mm] $$r:=1/\limsup_{p \to \infty}\sqrt[p]{|b_p|}$$
[/mm]
berechnen. Nach Definition der [mm] $b_p$ [/mm] folgt dann
[mm] $$r:=1/\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k^2]{|b_k|}\,,$$
[/mm]
denn nur an den Quadratzahlen [mm] $p=k^2$ [/mm] haben die [mm] $|b_p|$ [/mm] Werte [mm] $\not=0\,.$
[/mm]
Allgemeine Strategie:
Sei [mm] $\phi: \IN_0 \to \IN_0$ [/mm] streng monoton wachsend. Sei
[mm] $$S(x):=\sum_{k=0}^\infty a_k x^{\phi(k)}\,.$$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $r\,$ [/mm] von [mm] $S\,$ [/mm] nichts anderes als
[mm] $$r:=1/\limsup_{k \to \infty}\sqrt[\phi(k)]{|a_k|}\,.$$
[/mm]
Beweis.
Wir setzen
[mm] $$b_p:=\begin{cases} a_k, & \mbox{falls es ein } k \in \IN_0 \mbox{ gibt mit }p=\phi(k) \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}$$
[/mm]
(wegen der strengen Monotonie von [mm] $\phi$ [/mm] sind die [mm] $b_p$ [/mm] wohldefiniert!)
und definieren
[mm] $$T(x):=\sum_{p=0}^\infty b_p x^p\,.\$$
[/mm]
Seien [mm] $S_n(x)$ [/mm] bzw. [mm] $T_n(x)$ [/mm] jeweils die [mm] $n\,$-te [/mm] Teilsumme von [mm] $S(x)\,$ [/mm] bzw. [mm] $T(x)\,.$ [/mm] Ohne dies formal näher auszuführen (das kannst Du gerne machen!):
[mm] $(S_n(x))_n$ [/mm] und [mm] $(T_n(x))_n$ [/mm] haben das gleiche Konvergenzverhalten. [mm] $(T_n(x))_n$ [/mm] hat aber die Form einer Potenzreihe, daher haben [mm] $S\,$ [/mm] und [mm] $T\,$ [/mm] beide den Konvergenzradius
[mm] $$r:=1/\limsup_{p \to \infty}\sqrt[n]{|b_p|}=1/\limsup_{k \to \infty}\sqrt[\phi(k)]{|a_k|}\,.$$
[/mm]
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Das ganze nur methodisch:
Wenn eine Reihe "fast" die Form einer Potenzreihe hat, dann bringt man sie in Potenzreihenform, indem man "mit 0en auffüllt". D.h. etwa
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k x^{k^2}$$
[/mm]
"interpretiert man einfach" als
[mm] $$a_0*\underbrace{x^0}_{=1}+0*x^1+0*x^2+0*x^3+a_2*x^4+0*x^5+0*x^6+0*x^7+0*x^8+a_3*x^9+0*x^{10}+0*x^{11}+0*x^{12}+0*x^{13}+0*x^{14}+0*x^{15}+a_4*x^{16}+0*x^{17}+\ldots$$
[/mm]
[mm] $$\equiv:b_0 x^0 [/mm] + [mm] b_1 x^1 +b_2 x^2 +b_3 x^3+...+\underbrace{b_{16}}_{=a_4}x^{16}+b_{17}x^{17}+\ldots$$
[/mm]
Auf letztere kann man Cauchy-Hadamard anwenden.
P.S.
Diese Methode ist natürlich oft ungeeignet, wenn man mit dem QK arbeiten will!
Um dem ganzen einen Namen zu geben:
Nennen wir das ganze "Umformung einer Funktionenreihe (eigentlich müsste man hier hinschreiben, von welcher Form diese sein soll - das steht aber oben mit drin!) in eine Potenzreihe durch auffüllende Nullen"!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Di 27.03.2012 | | Autor: | Hans80 |
Grüß dich Marcel,
Vielen, vielen, vielen, ............... Dank  wiedermal für so eine tolle Antwort.
Dank deiner Hilfe habe ich das jetzt endlich verstanden.
Ich finds echt großartig, welche Mühe du dir jedesmal gibst und mit welcher präzision du auf die Fragen eingehst.
Echt toll!
Danke auch für den Tipp mit dieser Forumsuche. Bis heute habe ich gar nicht gewusst, dass so etwas existiert. Hab das auch gleich mal ausprobiert und ähnliche Beiträge gefunden, die mir mit Sicherheit auch schon weitergeholfen hätten. In Zukunft werde ich das öfter nutzen.
Man sollte vielleicht drüber nachdenken, diese Forumsuche ein wenig besser in das Forum zu integrieren (Also offensichtlicher zu plazieren), da es schon eine gute Möglichkeit darstellt sein eigenes Problem anhand ähnlicher Aufgaben zu lösen, die bereits beantwortet sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Di 27.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hans,
gern geschehen. Kleiner Hinweis: Ich hatte an zwei Stellen anstatt [mm] $1/\limsup$ [/mm] nur [mm] $\limsup$ [/mm] geschrieben - das ist aber mittlerweile korrigiert!
Gruß,
Marcel
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