Potenzreihen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Sei $u: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] zweimal differenzierbar, und es gelte $u ' ' = u$.
a) Ist $u$ um Null als Potenzreihe $u= [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k$ [/mm] darstellbar, so gilt
[mm] \hspace{1,5cm} [/mm] im Fall $u(0)=1, u ' (0)=0 : [mm] a_k [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array} 0 \mbox{0 \qquad für k ungerade}\\ \frac{1}{k!} \qquad \mbox{für k gerade}\end{array}\right.$
[/mm]
[mm] \hspace{1,5cm} [/mm] im Fall $u(0)=0, u ' (0)=1 : [mm] a_k [/mm] = [mm] \left\{ \begin{array} 0\mbox{0 \qquad für k gerade}\\ \frac{1}{k!}\qquad \mbox{für k ungerade}\end{array}\right.$
[/mm]
b) Diese beiden Potenzreihen haben den Konvergenzradius [mm] $\infty$ [/mm] und sind Lösungen von $u ' ' = u$.
c) Sei $cosh(x):= [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}, [/mm] sinh(x):= [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$. [/mm]
Es gilt $cosh' (x) = sinh (x), sinh'(x) = cosh(x)$.
d) Sei T irgendeine Lösung von $u ' ' = u$ mit [mm] $T(0)=\alpha, T'(0)=\beta$. [/mm] Dann folgt:
[mm] \hspace{1,5cm} [/mm] i) $f(x) = T(x) - [mm] \alpha \; [/mm] cosh (x) - [mm] \beta \;sinh [/mm] (x), g(x) = T'(x)- [mm] \alpha \;sinh [/mm] (x) [mm] -\beta \;cosh(x)$ [/mm] erfüllt $f' = g, g'=f $ und $f(0)=g(0)=0.$
[mm] \hspace{1,5cm} [/mm] ii) $F:= [mm] \frac{1}{2}(f+g)$ [/mm] erfüllt $F'=F, [mm] G=\frac{1}{2}(f-g)$ [/mm] erfüllt $G'=-G$.
[mm] \hspace{1,5cm} [/mm] iii) Es folgt $F=G=0$, damit $T(x)= [mm] \alpha \; [/mm] cosh(x) [mm] +\beta \;sinh(x)$.
[/mm]
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Hallo,
neue Woche - neues Glück - neuer Übungszettel!
Zunächst habe ich mich an Aufgabenteil a) versucht:
Ich habe versucht, mir die Darstellung der Taylorreihe klarzumachen. u ist zwar nur zweimal diffbar, aber wegen $u ' ' = u$ gilt dann doch [mm] $u^{(2k)}(0)= [/mm] u(0) = 1 $ und [mm] $u^{(2k+1)}(0)= [/mm] u'(0) = 0 $.
So erhalte ich die angegebenen [mm] a_k. [/mm]
zu b) habe ich leider keinen Ansatz.
zu c) Da die cosh(x) und sinh(x) in der Potenzreihendarstellung gegeben sind, soll ich die Ableitungen vermutlich nicht mit Hilfe von $cosh (x) = [mm] \frac{1}{2} (e^x +e^{-x})$ [/mm] beweisen.
cosh'(x)= [mm] \sum_{k=1}^{\infty}2k \frac{x^{2k-1}}{(2k)!}
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}. [/mm] Durch Indexverschiebung erhalte ich sinh (x).
Muss ich noch begründen, warum ich die Potenzreihe gliedweise differenzieren darf?
Viele Grüße,
Palonina
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Hallo Palonina,
> Sei [mm]u: \IR \rightarrow \IR[/mm] zweimal differenzierbar, und es
> gelte [mm]u ' ' = u[/mm].
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> a) Ist [mm]u[/mm] um Null als Potenzreihe [mm]u= \sum_{k=0}^{\infty}a_k x^k[/mm]
> darstellbar, so gilt
>
> [mm]\hspace{1,5cm}[/mm] im Fall [mm]u(0)=1, u ' (0)=0 : a_k = \left\{ \begin{array} 0 \mbox{0 \qquad für k ungerade}\\ \frac{1}{k!} \qquad \mbox{für k gerade}\end{array}\right.[/mm]
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> [mm]\hspace{1,5cm}[/mm] im Fall [mm]u(0)=0, u ' (0)=1 : a_k = \left\{ \begin{array} 0\mbox{0 \qquad für k gerade}\\ \frac{1}{k!}\qquad \mbox{für k ungerade}\end{array}\right.[/mm]
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> b) Diese beiden Potenzreihen haben den Konvergenzradius
> [mm]\infty[/mm] und sind Lösungen von [mm]u ' ' = u[/mm].
>
> c) Sei [mm]cosh(x):= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{(2k)!}, sinh(x):= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm].
>
> Es gilt [mm]cosh' (x) = sinh (x), sinh'(x) = cosh(x)[/mm].
>
> d) Sei T irgendeine Lösung von [mm]u ' ' = u[/mm] mit [mm]T(0)=\alpha, T'(0)=\beta[/mm].
> Dann folgt:
>
>
> [mm]\hspace{1,5cm}[/mm] i) [mm]f(x) = T(x) - \alpha \; cosh (x) - \beta \;sinh (x), g(x) = T'(x)- \alpha \;sinh (x) -\beta \;cosh(x)[/mm]
> erfüllt [mm]f' = g, g'=f[/mm] und [mm]f(0)=g(0)=0.[/mm]
>
> [mm]\hspace{1,5cm}[/mm] ii) [mm]F:= \frac{1}{2}(f+g)[/mm] erfüllt [mm]F'=F, G=\frac{1}{2}(f-g)[/mm]
> erfüllt [mm]G'=-G[/mm].
>
> [mm]\hspace{1,5cm}[/mm] iii) Es folgt [mm]F=G=0[/mm], damit [mm]T(x)= \alpha \; cosh(x) +\beta \;sinh(x)[/mm].
>
> Hallo,
>
> neue Woche - neues Glück - neuer Übungszettel!
>
> Zunächst habe ich mich an Aufgabenteil a) versucht:
>
> Ich habe versucht, mir die Darstellung der Taylorreihe
> klarzumachen. u ist zwar nur zweimal diffbar, aber wegen [mm]u ' ' = u[/mm]
> gilt dann doch [mm]u^{(2k)}(0)= u(0) = 1[/mm] und [mm]u^{(2k+1)}(0)= u'(0) = 0 [/mm].
>
> So erhalte ich die angegebenen [mm]a_k.[/mm]
>
> zu b) habe ich leider keinen Ansatz.
Verwende hier das ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium
>
> zu c) Da die cosh(x) und sinh(x) in der
> Potenzreihendarstellung gegeben sind, soll ich die
> Ableitungen vermutlich nicht mit Hilfe von [mm]cosh (x) = \frac{1}{2} (e^x +e^{-x})[/mm]
> beweisen.
>
> cosh'(x)= [mm]\sum_{k=1}^{\infty}2k \frac{x^{2k-1}}{(2k)!}[/mm]
> =
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}.[/mm] Durch
> Indexverschiebung erhalte ich sinh (x).
>
> Muss ich noch begründen, warum ich die Potenzreihe
> gliedweise differenzieren darf?
Es gibt da einen Satz über die
gliedweise Differentiation von Potenzreihen.
>
> Viele Grüße,
> Palonina
>
>
Gruß
MathePower
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