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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Di 16.12.2008 | | Autor: | relation |
| Aufgabe | Berechne den Konvergenzradius folgender Potenzreihe(n)
[mm] 1.\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{4^n}
[/mm]
2. [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (3+(-1)^n)^n*x^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo! so, wie ich das in der vorlesung verstanden habe, betrachtet man in der allg.PR [mm] \summe a_nz^n [/mm] nur den ausdruck [mm] a_n, [/mm] der vor [mm] z^n [/mm] steht--mit wurzelkriterium oder quotientenkriterium zb. der kehrwert davon ist dann mein KVGR.
zu 1.:nun habe ich hier aber das problem, dass ich nicht genau weiß, was mein [mm] a_n [/mm] ist! dann steht in der potenz auch nicht einfach nur n sondern 2n+1....ich habe einfach mal folgenden versuch gestartet:
lim [mm] sup\wurzel[2n+1]{\bruch{1}{4^n}}= [/mm] lim sup [mm] |\bruch{1}{4^{\bruch{1}{2+\bruch{1}{n}}}}|=\bruch{1}{2}
[/mm]
und damit hätte ich einen kvgr von 2. geht das so? wenn nicht, wo liegt mein denkfehler?
2. hier wende ich wieder das wurzelkr. an und erhalte für gerade n ja 4 als lim sup. folglich wäre mein kvgr [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] stimmt das so? muss ich eine fallunterscheidung machen (gerade/ungerade)und erhalte verschiedene kvgradien oder ist der kvgr für alle gleich??
vielen dank schonmal!
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Hallo relation,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> 2. hier wende ich wieder das wurzelkr. an und erhalte für
> gerade n ja 4 als lim sup. folglich wäre mein kvgr [mm]\bruch{1}{4}.[/mm] stimmt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> muss ich eine fallunterscheidung machen (gerade/ungerade)und erhalte
> verschiedene kvgradien oder ist der kvgr für alle gleich??
Nein, es ist keine Fallunterscheidung notwendig. Und es gibt auch einen Konvergenzradius.
Dafür "sorgt" ja schon der [mm] $\limsup$ [/mm] (und nicht nur einfach [mm] $\limes$) [/mm] beim Wurzelausdruck.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Di 16.12.2008 | | Autor: | relation |
ja super, danke!
und was sagt ihr zu meiner lösung bei 1.???
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> Berechne den Konvergenzradius folgender Potenzreihe(n)
>
> [mm]1.\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{4^n}[/mm]
>
> 2. [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (3+(-1)^n)^n*x^n[/mm]
> 2. hier wende ich wieder das wurzelkr. an und erhalte für
> gerade n ja 4 als lim sup. folglich wäre mein kvgr
> [mm]\bruch{1}{4}.[/mm] stimmt das so? muss ich eine
> fallunterscheidung machen (gerade/ungerade)und erhalte
> verschiedene kvgradien oder ist der kvgr für alle gleich??
Hallo,
das ist richtig so.
Die Fallunterscheidung hast Du gemacht, um den limsup zu finden, und damit hast Du den Konvergenzradius.
Deine Idee mit "Konvergenzradius für gerade und ungerade" ist doch Unfug.
Du betrachtest eine Reihe und willst wissen, für welche x sie konvergiert. Da gibt's kein gerade und ungerade.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 16.12.2008 | | Autor: | relation |
ja, jetzt ist es mir auch klar!
habe mal noch mit anderen aufgaben weitergemacht...meistens besteht das problem darin, eine geeignete umformung vorzunehmen...hier noch ein bsp, das mir probleme bereitet:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n+a^n)x^n [/mm] für [mm] a\ge0
[/mm]
ich bilde lim sup [mm] \wurzel[n]{n+a^n}...wie [/mm] mache ich dann am besten weiter? meine idee ist, abzuschätzen: lim sup [mm] \wurzel[n]{n+a^n}< [/mm] lim sup [mm] (\wurzel[n]{n}+\wurzel[n]{a^n})=1+a. [/mm] aber dann? ich vermute, ich müsste auf eine kvg gegen a kommen...
gruß und danke
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Hallo relation!
Klammere hier wie folgt aus:
[mm] $$\wurzel[n]{n+a^n} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{a^n*\left(\bruch{n}{a^n}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{a^n}*\wurzel[n]{\bruch{n}{a^n}+1} [/mm] \ = \ [mm] a*\wurzel[n]{\bruch{n}{a^n}+1}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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