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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Hi Leute, komme mal wieder nicht weiter bei folgender Aufgabe:
Es sei R ein kommutativer Ring und
R[ [X] ] := { [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} [/mm] | [mm] a_{i} [/mm] \ in R für i \ in [mm] \IN [/mm] }
Der Ring der Potenzreihen mit der üblichen Addition und Multiplikation. Zeigen Sie:
a) Ist R ein Integritätsbereich, so auch R[ [X] ].
b) [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} \in [/mm] R[ [X] ] ist eine Einheit genau dann, wenn [mm] a_{0} [/mm] eine einheit ist.
c) Falls [mm] a_{0} [/mm] unzerlegbar ist in R, so ist [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} [/mm] unzerlegbar in R[ [X] ].
d) Ist R ein Körper, so ist R[ [X] ] ein Hauptidealring (also auch ein ZPE-Ring).
So, die a) und die c) waren kein Problem, die habe ich schon gezeigt, leider hab ich keine Ahnung wie die b) und die d) gehen soll... Ich kann mir die b) auch irgendwie gar nicht richtig vorstellen, dass es nur von [mm] a_{0} [/mm] abhängen soll, ob eine Potenzreihe eine Einheit ist, oder nicht... Naja, ich hoffe ihr könnt mir ein paar Tipps geben, wie ich die b) und d) hinbekomme...
Vielen Dank schon im Voraus
und LG
Caro
PS: Sorry, dass ich R[ [X] ] schreiben musste, denn sonst gibt er mir einen Link zu irgendeiner Datenbank... wenn ich die Leerzeichen wegmache...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Di 27.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
Ich hab nicht viel Zeit, deshalb nur kurz:
> b) [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i} \in[/mm] R[ [X] ] ist eine
> Einheit genau dann, wenn [mm]a_{0}[/mm] eine einheit ist.
Es ist [mm] $\sum_{i=0}^\infty a_i X^i$ [/mm] ja genau dann eine Einheit, wenn es ein [mm] $\sum_{j=0}^\infty b_j X^j \in [/mm] R X$ gibt mit [mm] $\sum_{i=0}^\infty a_i X^i \cdot \sum_{j=0}^\infty b_j X^j [/mm] = 1$. Wenn du jetzt auf der linken Seite das Produkt ausrechnest (Cauchy-Produkt), bekommst du wieder eine Potenzreihe, deren Koeffizienten Polynome in den [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_j$ [/mm] sind. Und auf der rechten Seite steht die Potenzreihe, deren Koeffizient von [mm] $X^0$ [/mm] gerade 1 ist und alle anderen Koeffizienten sind 0.
Wenn du jetzt Koeffizientenvergleich machst (Definition der Gleichheit in $RX$), bekommst du einen Haufen Gleichungen, die erfuellt sein muessen.
An der Gleichung fuer die Koeffizienten von [mm] $X^0$ [/mm] siehst du, dass [mm] $a_0$ [/mm] eine Einheit sein muss.
Und wenn das der Fall ist, dann kannst du alle [mm] $b_i$ [/mm] der Reihe nach mit den Gleichungen berechnen, womit es ein Inverses [mm] $\sum b_j X^j$ [/mm] gibt.
Ist dagegen [mm] $a_0$ [/mm] keine Einheit, so ist nichteinmal die erste Gleichung zu erfuellen, womit es kein [mm] $\sum b_j X^j$ [/mm] gibt.
> PS: Sorry, dass ich R[ [X] ] schreiben musste, denn sonst
> gibt er mir einen Link zu irgendeiner Datenbank... wenn ich
> die Leerzeichen wegmache...
Wenn du $RX$ in einer Formel schreibst, dann geht's.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 27.11.2007 | | Autor: | statler |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Caroline!
> Es sei R ein kommutativer Ring und
>
> R[ [X] ] := { [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i}[/mm] | [mm]a_{i}[/mm] [mm] \in [/mm]
> R für i [mm] \in[/mm] [mm]\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Der Ring der Potenzreihen mit der üblichen Addition und
> Multiplikation. Zeigen Sie:
> d) Ist R ein Körper, so ist R[ [X] ] ein Hauptidealring
> (also auch ein ZPE-Ring).
Wenn R ein Körper ist und eine Potenzreihe nicht die Null, dann gibt es einen Term kleinsten Grades a_{i}X^{i} mit a_{i} \not= 0. Dann kannst du X^{i} ausklammern und der Rest ist eine Einheit nach b).
Wenn du dir jetzt die Potenzreihen in einem Ideal auguckst, dann sind das alles Vielfache von einem geeigneten X^{r}.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Di 27.11.2007 | | Autor: | Caroline |
Hallo,
vielen Dank euch beiden für die Tipps, habe es nun soweit verstanden, bei b) hatte ich die eine Richtung schon selbst hinbekommen, wenn die Potenzreihe Einheit, dann [mm] a_{0}, [/mm] aber auf die andere wäre ich jetzt nicht so gekommen...
Ich glaube wenn ich nochmal solch ein Problem habe, schreibe ich mir das einfach mal ausführlich aus, weil dann sieht man es wirklich, dass es gar nicht so schwer ist 
Bei der d) hab ich allerdings noch ein kleines Problem. Also ich habe nun verstanden, dass jedes f $ [mm] \in [/mm] RX $ (ja, funktioniert, danke  ) wie folgt darstellbar ist: $ f = [mm] X^{m} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{\infty}b_{i}X^{i} [/mm] mit [mm] b_{i} [/mm] = [mm] a_{m+i} [/mm] $ und dass diese Summe eine Einheit ist, ist mir auch klar, nur weiß ich nicht, ob ich den Rest so gut hinbekommen hab. Ich hab nun geschrieben:
Sei I ein beliebiges Ideal. Wähle g [mm] \in [/mm] I mit minimalem m, also sodass alle anderen Elemente erst bei einem höheren m Koeffizienten [mm] \not= [/mm] 0 besitzen... (siehe oben), dann sind alle anderen Vielfache (bis auf Assoziertheit) dieses [mm] X^{m} [/mm] => I = [mm] (X^{m}) [/mm] für alle I => Hauptidealring
mmh, also ich denke, ich weiß was du meinst, nur weiß ich nicht ob ich aufgrund Assoziertheit argumentieren kann... Könnt ihr mir vllt. sagen, wie ich das geschickter aufschreiben kann oder vllt. grünes Licht für meine Variante geben bin mir eben nicht ganz sicher, wie ich dies formulieren soll... den Rest habe ich, nur den Schluss...
Grüße
Caro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Do 29.11.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Caro!
> Sei I ein beliebiges Ideal. Wähle g [mm]\in[/mm] I mit minimalem m,
> also sodass alle anderen Elemente erst bei einem höheren m
> Koeffizienten [mm]\not=[/mm] 0 besitzen... (siehe oben), dann sind
> alle anderen Vielfache (bis auf Assoziertheit) dieses [mm]X^{m}[/mm]
> => I = [mm](X^{m})[/mm] für alle I => Hauptidealring
Sei I ein beliebiges Ideal. Wähle g [mm]\in[/mm] I mit minimalem m,
also so, dass alle anderen Elemente erst bei einem gleichen oder höheren m Koeffizienten [mm]\not=[/mm] 0 besitzen... (siehe oben), dann gibt es ein Element [mm] X^{m}*\epsilon [/mm] mit einer Einheit [mm] \epsilon [/mm] in I und folglich ist [mm] X^{m} [/mm] selbst [mm] \in [/mm] I. Wegen der Wahl von m sind alle anderen Vielfache dieses [mm]X^{m}[/mm]
Gruß aus HH-Eimsbüttel
Dieter
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