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Hallo,
für folgende Potenzreihe soll der Konvergenzradius berechnet werden:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Ich gehe nach folgender Formel vor:
[mm] \lim_{n\to\infty}|\br{a_n}{a_{n+1}}|=r
[/mm]
Hier bin ich mir noch nicht ganz sicher
Kann ich diesen Ausdruck [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] dann so darstellen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{1}{(2n+1)!}*x^{2n+1} [/mm] und mit dem folgenden weiterrechnen:
[mm] \lim_{n\to\infty}\br{1}{(2n+1)!}*\br{(2(n+1)+1)!}{1}=r [/mm] oder muss ich [mm] x^{2n+1} [/mm] noch berücksichtigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Mo 28.12.2015 | | Autor: | rmix22 |
Den Grenzwert kannst du so bestimmen, wie du es angegeben hast. Allerdings ist das noch nicht der Konvergenzradius. Da in deiner Reihe nur Potenzen von x mit ungeradzahliger Hochzahl auftreten (also im "Abstand" [mm] x^2), [/mm] musst du aus dem ermittelten Grenzwert noch die Wurzel ziehen,
Das wird, da der Grenzwert gegen Unendlich strebt aber hier keine große Auswirkung haben.
Gruß RMix
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Hallo,
Noch etwas :
Die Reihe, die du betrachtest ist eine sehr spezielle... nämlich
[mm] $sinh(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
damit findest du nun sicher einige genaue Ausführungen :)
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Mo 28.12.2015 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo,
noch besser wirds wenn man folgende Funktion in die Mac Laurinsche Reihe entwickelt:
f(x)=arctan(x)
Erstmal die ersten Ableitungen anschauen:
[mm] f'(x)=\br{1}{x^2+1} [/mm] f'(0)=1
[mm] f''(x)=-\br{2x}{(x^2+1)^2} [/mm] f''(0)=0
Bis hierhin alles gut... Aber dann:
[mm] f'''(x)=\br{6x^2-2}{(x^2+1)^3} [/mm] f'''(0)=-2
[mm] f''''(x)=-24x\br{2x^2-1}{(x^2+1)^4} [/mm] f''''(0)=0
[mm] f'''''(x)=\br{24*(5x^4-10x^2+1)}{(x^2+1)^5} [/mm] f'''''(0)=24
f'''''''(0)=-720
f'''''''''(0)=40320
Daraus eine Reihe bilden? Habe ich erst nicht verstanden aber es geht:
[mm] f(x)=f(0)+\br{f'(0)}{1!}*x^1+\br{f''(0)}{2!}*x^2+...=\summe_{n=0}^{\infty}\br{f^n(0)}{n!}*x^n
[/mm]
[mm] f(x)=0+\br{1*x^1}{1!}-\br{2*x^3}{3!}+\br{24*3^5}{5!}
[/mm]
Und siehe da die Fakultäten fallen weg und es kommt auf:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n*\br{x^{2n+1}}{2n+1}
[/mm]
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