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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Sa 25.01.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Aufgabe:
Eine Folge [mm] \left(a_n\right)_{n\in\IN} [/mm] ist induktiv gegeben durch [mm] a_0=2 [/mm] , [mm] a_1=−1 [/mm] und
[mm] a_n=6a_{n−2}−a_{n−1} [/mm] , [mm] n\ge2 [/mm] .
Finden Sie eine Funktionsvorschrift für die Potenzreihe
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] .
Lösungsvorschlag vom Prof:
Es gilt für alle Konvergenzpunkte x der Potenzreihe
[mm] f(x)=2-x+\summe_{n=2}^{\infty}a_nx^n
[/mm]
[mm] =2-x+\summe_{n=2}^{\infty}\left(6a_{n-2}-a_{n-1}\right)
[/mm]
[mm] =2-x+6x^2\summe_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n-2}-x\summe_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1}
[/mm]
$=2-x+6x^2f(x)-xf(x)-2$ .
Also gilt für alle Konvergenzpunkte x der Potenzreihe
[mm] f(x)(1+x-6x^2)=2+x
[/mm]
und damit
[mm] f(x)=\br{2+x}{1+x-6x^2} [/mm] . |
Meine Frage ist, wie kommt man auf die "$f(x)=2-x+...$"?
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Hallo,
> Aufgabe:
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> Eine Folge [mm]\left(a_n\right)_{n\in\IN}[/mm] ist induktiv gegeben
> durch [mm]a_0=2[/mm] , [mm]a_1=−1[/mm] und
>
> [mm]a_n=6a_{n−2}−a_{n−1}[/mm]
Eher [mm] $6a_{n-2}-a_{n-1}$ [/mm] ?!
> , [mm]n\ge2[/mm] .
>
> Finden Sie eine Funktionsvorschrift für die Potenzreihe
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n[/mm] .
>
> Lösungsvorschlag vom Prof:
>
> Es gilt für alle Konvergenzpunkte x der Potenzreihe
>
> [mm]f(x)=2-x+\summe_{n=2}^{\infty}a_nx^n[/mm]
Steht da nicht eher [mm] $2\red [/mm] +x$?
Oder ist [mm] $a_1=\red [/mm] -1$ vorgegeben?
>
> [mm]=2-x+\summe_{n=2}^{\infty}\left(6a_{n-2}-a_{n-1}\right)[/mm]
Hier fehlt [mm] $\cdot{}x^n$
[/mm]
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> [mm]=2-x+6x^2\summe_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^{n-2}-x\summe_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1}[/mm]
>
> [mm]=2-x+6x^2f(x)-xf(x)-2[/mm] .
>
> Also gilt für alle Konvergenzpunkte x der Potenzreihe
>
> [mm]f(x)(1+x-6x^2)=2+x[/mm]
>
> und damit
>
> [mm]f(x)=\br{2+x}{1+x-6x^2}[/mm] .
> Meine Frage ist, wie kommt man auf die "[mm]f(x)=2-x+...[/mm]"?
Das sind die ersten zwei Summanden der allg. Reihe extra geschrieben, also [mm] $a_0\cdot{}x^0+a_1\cdot{}x^1$ [/mm] mit den vorgelegten Werten [mm] $a_0,a_1$
[/mm]
So, wie du es gepostet hast, sollte da aber $2+x$ stehen ...
Gruß
schachuzipus
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