Potenzreihe und Identitätssatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Sa 28.04.2007 | | Autor: | sirdante |
| Aufgabe | Beweise mit Hilfe von binomischen Reihen und des Identitätssatzes für Potenzreihen:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{\alpha \\ k} \vektor{ \beta\\ n - k} [/mm] = [mm] \vektor{ \alpha + \beta\\ n} [/mm] |
So. Ich habe versucht mich da rein zu arbeiten. Bisherige Erkenntnisse:
Ich denke, ich kann hiermit etwas anstellen:
[mm] (1+x)^\alpha [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{\alpha \\ n} x^n [/mm] , für |x| < 1
Und ich meine, dass ich über den Identitätssatz dann per Koeffizientenvergleich auf die Gleichheit am Ende schließen kann... Allerdings bekomme ich die in der Aufgabe formulierten Binos nicht so umgebastelt, wie ich will, bzw. wie es mir helfen könnte. Ich wollte deshalb mal fragen ob mir jemand nen kleinen Wink geben kann. Ein Tipp für die Lösung wäre mir viel lieber, als ne komplette Lösung!
Danke im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Sa 28.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Sieht auf den ersten Blick danach aus:
$ [mm] (1+x)^{(\alpha + \beta)} [/mm] = [mm] (1+x)^\alpha *(1+x)^\beta$
[/mm]
Nun setzt Du Deine Potenzreihenentwicklungen (links einmal, rechts zweimal) ein.
Die rechten beiden unendlichen Summen musst Du durchmultiplizieren.
Dann wendest Du den Identitätssatz an und erhälst die zu zeigende Aussage.
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