Potenzreihe f(z)=exp(z)*cos(z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Di 14.05.2013 | | Autor: | Krissel |
| Aufgabe | Entwickeln sie die folgende Funktion in eine Potenzreihe um [mm]z_0=0[/mm]:
[mm]f(z)=e^z*cos(z)[/mm] |
Hallo,
Ich bin noch relativ neu bei Potenzreihen, daher stelle ich mal meinen Ansatz rein und bitte um Anmerkungen zu meinen Überlegungen.
Ich habe benutzt, dass
[mm] cos(z)=\frac{1}{2}*(e^{iz}+e^{-iz}) [/mm],
Dann schreibe ich f(z) um:
[mm] f(z)=\frac{1}{2}*e^z*(e^{iz}+e^{-iz}) = \frac{1}{2}*(e^{(1+i)z}+e^{(1-i)z})[/mm]
Jetzt nehme ich die Definition der Exponentialfunktion über die Potenzreihe:
[mm] f(z)=\frac{1}{2}*(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1+i)^k}{k!}*z^k + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1-i)^k}{k!}*z^k) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1+i)^k+(1-i)^k}{2k!}*z^k [/mm]
Damit hätte ich ja schon mal eine Potenzreihe für die Funktion gefunden, wenn ich mich nicht irre.
Nun hab ich mir von der Folge
[mm] a_k=(1+i)^k+(1-i)^k [/mm]
mal die ersten Folgenglieder angeschaut und festgestellt, dass alle reell sind. Kann ich diese Folge auf "schöne" Art und Weise auch nur durch reelle Ausdrücke darstellen? Da bin ich auf keinen Ansatz gekommen.
Und eine Frage hätte ich noch zu Konvergenzradius. Die Potenzreihe, die ich entwickelt habe, muss ja dem Produkt der Potenzreihen von [mm]e^z[/mm] und [mm]cos(z)[/mm] entsprechen und damit wegen dem unendlichen Konvergenzradius von cos und exp ebenfalls unendlichen Konvergenzradius haben, oder?
Danke für eure Anmerkungen,
Krissel
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Hallo Krissel,
> Entwickeln sie die folgende Funktion in eine Potenzreihe um
> [mm]z_0=0[/mm]:
>
> [mm]f(z)=e^z*cos(z)[/mm]
> Hallo,
>
> Ich bin noch relativ neu bei Potenzreihen, daher stelle ich
> mal meinen Ansatz rein und bitte um Anmerkungen zu meinen
> Überlegungen.
>
> Ich habe benutzt, dass
>
> [mm]cos(z)=\frac{1}{2}*(e^{iz}+e^{-iz}) [/mm],
>
> Dann schreibe ich f(z) um:
>
> [mm]f(z)=\frac{1}{2}*e^z*(e^{iz}+e^{-iz}) = \frac{1}{2}*(e^{(1+i)z}+e^{(1-i)z})[/mm]
>
> Jetzt nehme ich die Definition der Exponentialfunktion
> über die Potenzreihe:
>
> [mm]f(z)=\frac{1}{2}*(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1+i)^k}{k!}*z^k + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1-i)^k}{k!}*z^k) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(1+i)^k+(1-i)^k}{2k!}*z^k[/mm]
>
> Damit hätte ich ja schon mal eine Potenzreihe für die
> Funktion gefunden, wenn ich mich nicht irre.
>
> Nun hab ich mir von der Folge
>
> [mm]a_k=(1+i)^k+(1-i)^k[/mm]
>
> mal die ersten Folgenglieder angeschaut und festgestellt,
> dass alle reell sind. Kann ich diese Folge auf "schöne"
> Art und Weise auch nur durch reelle Ausdrücke darstellen?
> Da bin ich auf keinen Ansatz gekommen.
>
Schreibe die Ausdrücke 1+i bzw. 1-i in Exponentialform.
> Und eine Frage hätte ich noch zu Konvergenzradius. Die
> Potenzreihe, die ich entwickelt habe, muss ja dem Produkt
> der Potenzreihen von [mm]e^z[/mm] und [mm]cos(z)[/mm] entsprechen und damit
> wegen dem unendlichen Konvergenzradius von cos und exp
> ebenfalls unendlichen Konvergenzradius haben, oder?
>
Eigentlich schon.
> Danke für eure Anmerkungen,
> Krissel
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 14.05.2013 | | Autor: | Krissel |
Hallo MathePower,
> Schreibe die Ausdrücke 1+i bzw. 1-i in Exponentialform.
Damit komme ich auf [mm]2\sqrt{2}^k*cos(\frac{k*\pi}{4})[/mm],
Was sehr schön aussieht :)
Dankeschön!
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