Potenzreihe Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Man bestimme für welche x die folgende Potenzreihe konvergiert.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n*n^2} [/mm] * [mm] x^2^n [/mm] |
Ich kam mit dem Wurzelkriterium auf dieses Ergebnis und habe es auch mit der Musterlösung abgeglichen.
R= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2 [mm] \wurzel[n]{n^2} [/mm] = 2
Der Konvergenzradius lautet also = 2 ?
Wo konvergiert die Potenzreihe und wo divergiert Sie... Bitte um anschauliche Erklärung.
Danke im Voraus
Gruß yuppi
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Hallo yuppi,
> Man bestimme für welche x die folgende Potenzreihe
> konvergiert.
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n*n^2}[/mm] * [mm]x^2^n[/mm]
> Ich kam mit dem Wurzelkriterium auf dieses Ergebnis und
> habe es auch mit der Musterlösung abgeglichen.
>
> R= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 2 [mm]\wurzel[n]{n^2}[/mm] = 2
>
> Der Konvergenzradius lautet also = 2 ?
Nein, [mm]R=\sqrt{2}[/mm]
Du musst doch die Form [mm]\sum\limits_{n\ge 1}a_n\cdot{}x^n[/mm] haben, du hast [mm]x^{\red{2n}}[/mm] dastehen.
Substituiere [mm]y:=x^2[/mm], dann hast du [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{2^n\cdot{}n^2}\cdot{}y^n[/mm]
Dann kommst du mit Cauchy-Hadamard oder dem WK auf den Konvergenzradius [mm]R=2[/mm] für y!
Also für [mm]x[/mm] dann auf den K-Radius [mm]R'=\sqrt{2}[/mm]
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> Wo konvergiert die Potenzreihe und wo divergiert Sie...
Wenn du den K-Radius einer Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n\ge 1}a_n\cdot{}(x-x_0)^n[/mm] zu [mm]R[/mm] berechnet hast, so konvergiert die Potenzreihe sicher für [mm]|x-x_0|R[/mm]
Für die Randpunkte [mm]|x-x_0|=R[/mm] kannst du erstmal nix aussagen, dort kann die Potenzreihe konvergieren oder divergieren.
Da musst du durch Einsetzen der fraglichen x-Werte in die Reihe separat auf Konvergenz prüfen.
Hier bei dir ist [mm]x_0=0[/mm] und du hast den K-Radius [mm]R=\sqrt{2}[/mm]
Wie lautet also das Konvergenzintervall und wo divergiert die Reihe?
Welches sind die "kritischen" Stellen (Randpunkte). Wie sieht's da aus?
Beantworte mal diese Fragen und du hast es ...
> Bitte um anschauliche Erklärung.
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> Danke im Voraus
>
> Gruß yuppi
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 So 22.07.2012 | | Autor: | yuppi |
Super, habs jetzt komplett drauf =)
Also die Reihe konvergiert auch bei den Randwerten und halt innerhalb des Konvergenzradius.
Außerhalb der Randwerte divergiert Sie.
Habs mit der M.L verglichen und stimmt.
Danke nochmal...
Habe noch paar Fragen zur Konvergenz bei uneigentlichen Integralen, aber das kommt gleich ;)
Gruß yuppi
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