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Hallo alle miteinander!
Ich habe folgende Aufgabe zu bewältigen und weiss nicht recht wie:
Sei f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}a_{n}x^n [/mm] eine Potenzreihe in [mm] \IR [/mm] mit Konvergenzradius r > 0.
Konvergiert dann [mm] x_k \to x_0 [/mm] , [mm] |x_0| [/mm] < r, so folgt [mm] f(x_k) \to f(x_0).
[/mm]
Ich soll dies nun beweisen.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Do 02.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Naja, du sagst es ja selbst, du darfst davon ausgehen, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_k=x_0.
[/mm]
und zu zeigen ist, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f(x_k)=f(x_0) [/mm] ist.
Und man darf ja unter gewissen Umständen einen Limes reinziehen (z.B. wenn denn die Funktion stetig ist). Da habt ihr sicher was in der Vorlesung dazu gemacht...
Du müßtest also nur zeigen,dass du den Limes reinziehen darfst !
Und dann wärst du fertig, weil dann ja gezeigt wäre, dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{ \infty}a_{n}x_{k}^n=f(x_0)
[/mm]
Faenôl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 02.06.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Diese Antwort scheint mir unklar.
Also bei uns im Skript steht nicht von der Möglichkeit Limes reinzuziehen.
Könnte es mir vielleicht jemand erklären?
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Hallo!
Die Idee ist folgende:
Wenn man zeigen kann, dass $f$ stetig ist, dann impliziert das ja die Aussage. Denn stetig bedeutet ja gerade, dass gilt: [mm] $x_n\to x_0$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x_0)$...
[/mm]
Wie geht man das jetzt an?
Du bildest die Partialsummen [mm] $f_N(x):=\summe_{n=0}^N a_nx^n$. [/mm]
Die [mm] $f_N$ [/mm] sind Polynome, also stetig auf $(-r;r)$.
Wähle ein [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] so dass [mm] $\tilde x_0:=|x_0|+\varepsilon [/mm] < r$.
Jetzt zeigst du, dass diese Polynome auf [mm] $K:=K_{\tilde x_0}(0)$ [/mm] gleichmäßig gegen $f$ konvergieren.
Dann benutzt du, dass die gleichmäßige Konvergenz stetiger Funktionen auf einem Kompaktum gegen eine Funktion $f$ impliziert, dass $f$ stetig ist.
Dann folgt: Da [mm] $x_n\to x_0$ [/mm] gibt es ein [mm] $M\in \IN$, [/mm] so dass [mm] $|x_0-x_n|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] M$. Also ist [mm] $x_n\in [/mm] K$ für alle [mm] $n\ge [/mm] M$.
Weil $f$ auf $K$ stetig ist folgt deshalb [mm] $f(x_n)\to f(x_0)$.
[/mm]
Gruß, banachella
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