Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen x konvergiert die folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] |
Hi!
Ich würde normalerweise so vorgehen:
[mm] a_n=\bruch{1}{(2n+1)!}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{(2n+3)!}
[/mm]
und dann
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|
[/mm]
=...
aber muss ich nicht ein y definieren, damit die Reihe ungefähr so aussieht
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{y^{n}}{(2n+1)!} [/mm] ?
Danke und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mo 01.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Der Anfang ist schonmal nicht schlecht, du musst die Folge der Koeffizienten der Potenzreihe untersuchen, denn die Bestimmt das Konvergenzverhalten der Potenzreihe, also insbesondere den Konvergenzradius.
Jede Potenzreihe lässt sich schreiben als [mm] $\sum_{k\ge 0}a_kx^k$. [/mm] In deinem Fall ist also
[mm] $a_k=\begin{cases}0&\text{für gerades }k\\\frac{1}{k!}&\text{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
Darauf kannst du nun geeignete Kriterien anwenden.
Es geht aber noch einfacher, denn für jedes $x$ ist [mm] $\exp(x)$ [/mm] eine konvergente Majorante.
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