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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 15:10 Do 20.03.2014 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Schon wieder bin ich auf eine reizvolle Aufgabe gestoßen:
1. Die Zutaten: sei [mm] (a_n)_{n=0}^{\infty} [/mm] eine Folge in [mm] \IC, [/mm] derart, dass die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] einen Konvergenzradius $R>0$ hat, weiter sei [mm] $a_n \ne [/mm] 0$ für mindestens ein $n [mm] \ge [/mm] 1$ und für $N [mm] \in \IN$ [/mm] definieren wir des Polynom [mm] p_N [/mm] durch
[mm] p_N(z):=\summe_{k=0}^{N}a_kz^k.
[/mm]
Im Folgenden sei stets [mm] $z_0 \in \IC$ [/mm] und [mm] $|z_0|
2. Zur Motivation: der Fundamentalsatz der Algebra liefert [mm] p_N(\IC)=\IC. [/mm] Daher gibt es ein [mm] z_1 \in \IC [/mm] mit
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz_0^n=p_N(z_1).
[/mm]
3. Die Aufgabe: man zeige, dass es zu [mm] z_0 [/mm] stets ein $N [mm] \in \IN [/mm] $ und ein [mm] z_1 \in \IC [/mm] gibt mit
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz_0^n=p_N(z_1) [/mm] und [mm] |z_1| |
Mit der üblichen Bitte an jemanden aus dem Kreis der Moderatoren...
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Do 20.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
diese Frage bitte nicht beantworten. Sie dient nur dazu, dass dieser Thread in der Liste der offenen Fragen erscheint.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Di 25.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Schon wieder bin ich auf eine reizvolle Aufgabe gestoßen:
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> 1. Die Zutaten: sei [mm](a_n)_{n=0}^{\infty}[/mm] eine Folge in [mm]\IC,[/mm]
> derart, dass die Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n[/mm]
> einen Konvergenzradius [mm]R>0[/mm] hat, weiter sei [mm]a_n \ne 0[/mm] für
> mindestens ein [mm]n \ge 1[/mm] und für [mm]N \in \IN[/mm] definieren wir
> des Polynom [mm]p_N[/mm] durch
>
> [mm]p_N(z):=\summe_{k=0}^{N}a_kz^k.[/mm]
>
> Im Folgenden sei stets [mm]z_0 \in \IC[/mm] und [mm]|z_0|
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> 2. Zur Motivation: der Fundamentalsatz der Algebra liefert
> [mm]p_N(\IC)=\IC.[/mm] Daher gibt es ein [mm]z_1 \in \IC[/mm] mit
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz_0^n=p_N(z_1).[/mm]
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> 3. Die Aufgabe: man zeige, dass es zu [mm]z_0[/mm] stets ein [mm]N \in \IN[/mm]
> und ein [mm]z_1 \in \IC[/mm] gibt mit
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nz_0^n=p_N(z_1)[/mm] und [mm]|z_1|
> Mit der üblichen Bitte an jemanden aus dem Kreis der
> Moderatoren...
>
> Gruß FRED
Schade, dass sich niemand an die Aufgabe gewagt hat......
Hier meine Lösung:
wir setzen $f(z):= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] $, [mm] $g(z)=f(z)-f(z_0)$ [/mm] und [mm] $U:=\{z \in \IC: |z|
Dann haben wir:
(a) $f$ und $g$ sind auf $U$ holomorph;
(b) $g$ ist auf $U$ nicht konstant (denn [mm] $a_n \ne [/mm] 0$ für mindestens ein $n [mm] \in \IN$) [/mm] und $g$ hat die Nullstelle [mm] z_0 [/mm] in $U$.
Für $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] sei [mm] $q_n:=p_n-f(z_0)$. [/mm] Die Folge [mm] (q_n) [/mm] konvergiert also kompakt gegen $g$ auf $U$ (d.h.: [mm] (q_n) [/mm] konvergiert auf jeder kompakten Teilmenge von $U$ gleichmäßig gegen $g$).
Wenn wir nun annehmen, dass jedes [mm] q_n [/mm] auf $U$ nullstellenfrei ist, so liefert der Satz von Hurwitz:
$g$ ist konstant $=0$ auf $U$ oder $g$ hat in $U$ keine Nullstelle.
Beides widerspricht aber obigem Punkt (b) . Damit existiert ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] derart, dass [mm] q_N [/mm] eine Nullstelle [mm] $z_1 \in [/mm] U$ besitzt.
Gruß FRED
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