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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:55 Do 03.08.2006 | | Autor: | santor |
Hallo,
ich habe mal eine Frage zu den [mm] Potenzrechenregeln:x^3, [/mm] könnte man ja auch so schreiben: [mm] (x^2)^3/2. [/mm] z. B. [mm] 5^3=125, (5^2)^3/2=125, [/mm] alles ok.
Wenn man jetzt aber -5 einsetzt, [mm] (-5)^3=-125, (-5)^2^3/2=125. [/mm] Durch das Quadrieren erhält man hier einen Vorzeichenfehler. ???
3-te Wurzel(-8) oder [mm] (-8)^1/3=-2, [/mm] ist das so in Ordnung oder nur für positive Zahlen erlaubt? (-8(^1/2 oder Wurzel(8) geht nämlich wiederum nicht.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Do 03.08.2006 | | Autor: | santor |
Damit es keine Missverständnisse gibt, hier nochmal. Ich habe die zeichen etwas falsch geschrieben:
[mm] x^3=(x^2)^{3/2}, [/mm] 5 eingesetzt: [mm] 5^3=125, (5^2)^{3/2}=25^{3/2}=125, [/mm] stimmt.
Bei -5 stimmt aber etwas nicht: [mm] (-5)^3=-125,((-5)^2)^{3/2}=125. [/mm] Durch das Quadrieren wird alles positiv. Was stimmt hier nicht?
gilt 3-teWurzel(-8)=-2? (-8)^(1/3)=-2, geht ja auch.
Aber bei (-4)^(1/2) geht es nicht, weil man ja auch keine Wurzel ziehen kann. ???
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Nun, es ist so: Grade Potenzen fressen negative Vorzeichen. Deshalb darf bei "graden" Wurzeln auch kein negativer radikand stehen.
bei ungraden Potenzen bleiben die Vorzeichen erhalten, deshalb haben auch ihre Wurzeln Lösungen für negative Radikanden
Bildlich ist die Umkehrfunktion, also letztendlich die Wurzel, ja die Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.
Wenn du x² spiegelst, würdest du aber für jedes x in der neuen Funktion zwei Werte haben, und das darf nicht sein. Man schneidet die untere Hälfte ab.
Mit x³ gibt es dieses Problem nicht!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Do 03.08.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Hallo.
> ich habe mal eine Frage zu den [mm]Potenzrechenregeln:x^3,[/mm]
> könnte man ja auch so schreiben: [mm](x^2)^3/2.[/mm] z. B. [mm]5^3=125, (5^2)^3/2=125,[/mm]
> alles ok.
Schön, dass du dich mit dem Formeleditor bemühst. Aber so ganz ist die Darstellung ja nicht i.O.
> Wenn man jetzt aber -5 einsetzt, [mm](-5)^3=-125, (-5)^2^3/2=125.[/mm]
> Durch das Quadrieren erhält man hier einen
> Vorzeichenfehler. ???
Indirekt ja.
Guck doch mal (das rote rechnen wir aus) :
$ [mm] [(\red{-5})^\red{2}]^{\br{3}{2}}$
[/mm]
[mm] $=(\red{25})^\br{\red{3}}{2}$
[/mm]
[mm] $=(15625)^{br{1}{2}}$
[/mm]
Die Potenz 0.5 bedeutet so viel wie (zweite) Wurzel aus
[mm] \wurzel{15625} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 125
> 3-te Wurzel(-8) oder [mm](-8)^1/3=-2,[/mm] ist das so in Ordnung
> oder nur für positive Zahlen erlaubt? (-8(^1/2 oder
> Wurzel(8) geht nämlich wiederum nicht.
>
Um ehrlich zu sein, damit hatte ich Schwierigkeiten, das zu lesen.
Nein, es ist auch für negative Zahlen erlaubt. Und ja, [mm] (-8)^{\br{1}{2}} [/mm] hat keine reele Lösung. Du übersiehst da nämlich etwas, denn was für eine Frage stellst du dir denn, wenn du aus (sagen wir mal lieber) -9 die (Quadrat/Zweite)wurzel ziehst? Welche Zahl mit sich selbst mal genommen (multipliziert, also mit sich selbst = quadriert) ergibt -9.
+ mal + ist gleich +
- mal - ist gleich -
Also findest du im reelen Bereich keine Zahl, die mit sich selbst malgenommen -9 (oder -8) ergibt. Bei ungeraden Potenzen ergibt sich dann auch ein negatives Vorzeichen.
Alles klar?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Do 03.08.2006 | | Autor: | santor |
Hallo,
mit dem Formeleditor komm ich nicht so gut klar, sorry.
ich habe eben nachgelesen, dass die Potenzgesetze im Allgemeinen nur für positive basen definiert sind, da man sonst Vorzeichenprobleme bekommen könnte
Du hast geschrieben [mm] (15625)^1/2 [/mm] =+- 125. da hast du dich vertan oder? die Wurzel aus einer Zahl ist nämlich immer positiv und niemals negativ
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Moin.
> mit dem Formeleditor komm ich nicht so gut klar, sorry.
Das wird schon noch.
> ich habe eben nachgelesen, dass die Potenzgesetze im
> Allgemeinen nur für positive basen definiert sind, da man
> sonst Vorzeichenprobleme bekommen könnte
Ist ja auch logisch.
> Du hast geschrieben [mm](15625)^1/2[/mm] =+- 125. da hast du dich
> vertan oder? die Wurzel aus einer Zahl ist nämlich immer
> positiv und niemals negativ
Was ist denn $-125*(-125)$
wohl [mm] $\red{+}15625$
[/mm]
Das selbe gilt auch bei [mm] $\wurzel{9}$... [/mm] oder [mm] $\wurzel{16}... [/mm] Bei Wurzeln geraden Grades wie [mm] $\wurzel[2]{x}, \wurzel[4]{x}, \wurzel[6]{x}, \wurzel[100]{x}$ [/mm] sind die Ergebnisse stets positiv und negativ.
Z. B.
$ [mm] \wurzel[4]{16}$
[/mm]
daraus lässt sich machen:
[mm] $\wurzel[2]{\wurzel[2]{16}}$
[/mm]
[mm] $=\wurzel[2]{\pm4}$
[/mm]
Aus der negativen vier kannst du keine Wurzel ziehen (nicht im reelen Bereich)
daher folgt
[mm] $=\wurzel[2]{+4} [/mm] = [mm] \pm2$
[/mm]
Wenn du nun einmal die Probe machst
[mm] $(+2)^4 [/mm] =16$
und
[mm] $(-2)^4 [/mm] = 16$
Anders ist es bei der dritten ("ungeraden") Wurzel. Da kann das Vorzeichen - ODER + beim Ergebnis ergeben.
Z. B. bei [mm] \wurzel[3]{27} [/mm] oder [mm] \wurzel[3]{-27}
[/mm]
beides lösbar
Problem nun erkannt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Fr 04.08.2006 | | Autor: | santor |
Hallo,
[mm] (x)^1/2 [/mm] ist aber als funktion zu sehen und muss daher eindeutig sein. Die Wurzel aus 9 ist daher nur 3 und nicht -3, denn sonst wär die Wurzelfunktion nicht eindeutig. schau mal in Mathebüchern nach. da ist die Wurzel auch nur als das positive aus der Zahl definiert. Mein Matheprofessor hat das auch so gesagt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 10.08.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Servus.
> [mm](x)^1/2[/mm] ist aber als funktion zu sehen und muss daher
> eindeutig sein. Die Wurzel aus 9 ist daher nur 3 und nicht
> -3, denn sonst wär die Wurzelfunktion nicht eindeutig.
> schau mal in Mathebüchern nach. da ist die Wurzel auch nur
> als das positive aus der Zahl definiert. Mein
> Matheprofessor hat das auch so gesagt.
Ähm, wo hast du hier von Funktionen gesprochen? Du hast einmal geschrieben: $ [mm] (x^2)^3/2. [/mm] $ Und danach gehst du nur noch auf Wurzeln von reelen Zahlen ein.
Wie du selbst schreibst:
"$ Potenzrechenregeln: $"
Darauf bezog sich meine Antwort. Oder an welcher Stelle spreche ich von Funktionen?
Sorry, aber da haben wir dann leider aneinander vorbei geredet. Na ja, die Frage wurde wohl trotzdem zu deiner Zufriedenheit beantwortet? Dann ist es ja halb so schlimm.
> schau mal in Mathebüchern nach.
Als ob ich so etwas lesen würde 
Schöne Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Do 03.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
die beiden vorherigen Antworten sind schon aussagekräftig, dennoch wollte ich noch einen Aspekt hinzufügen.
Es ist ein Problem der Mathematik, dass hier und da nicht alles auf den ersten Blick rund ist, an einer solchen Stelle befindest du dich!
Es ist die Potenzschreibweise für Wurzeln nicht für negative Basen im Reellen möglich ohne sich die Probleme einzuhandeln.
[mm] (-9)^{\bruch{1}{2}} [/mm] ist im reellen nicht "zulässig", diesen Nachteil nimmt man für die vielen Vorteile dieser Schreibweise in Kauf.
Die Gleichung [mm] -9=x^2 \gdw 9=-x^2\Rightarrow x_1=3 [/mm] und [mm] x_2={-3}
[/mm]
Diese Fallunterscheidung geht in der Potenzschreibweise verloren!
Hoffe ich konnte zur eindeutigen Klärung einen Beitrag leisten.
Gruß
Ron
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