Potenzmengenring, symm. Diffe. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $M$ eine beliebige Menge, $Pot(M)$ die Potenzmenge von $M$ und + eine Verknüpfung auf $Pot(M)$ so, daß $(Pot(M), +, [mm] \cap)$ [/mm] ein Ring ist.
Man zeige: Dann ist + die symmetrische Differenz [mm] $\triangle$ [/mm] auf $Pot(M)$. |
Eine Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet ...
Um o.g. Behauptung zu beweisen, möchte ich folgendes zeigen:
[mm] $\forall [/mm] A,B [mm] \in [/mm] R : A+B = [mm] (A\cup B)\setminus (A\cap [/mm] B)$.
Problem: Ich weiß nicht, wie ich das "+" in eine Mengenoperation umwandle, so daß ich einen Term aus Mengenoperationen [mm] $\cap, \cup, \setminus$ [/mm] in die symmetr. Differenz umformen kann.
Einige Ansätze meinerseits:
$R$ ist idempotent, denn für alle [mm] $A\in [/mm] Pot(M)$ gilt [mm] $A\cap [/mm] A = A$.
Daraus folgt $A+A = 0$ , wobei 0 das Nullelement in $R$ bzgl. + ist. Außerdem gilt [mm] $A\cap [/mm] B = [mm] B\cap [/mm] A$ für alle $A, [mm] B\in [/mm] R$ (beides folgt aus der Idempotenz, was ich bereits bewiesen habe), also $R$ ist sogar ein kommutativer Ring.
Es gilt: [mm] $A\cap [/mm] 0 + 0 = [mm] A\cap [/mm] 0 = [mm] (A\cap [/mm] 0) + [mm] (A\cap [/mm] 0)$, also $0 = [mm] A\cap [/mm] 0$.
Da [mm] $\emptyset$ [/mm] die einzige Menge aus $Pot(M)$ ist, die mit einer Menge [mm] $A\in [/mm] Pot(M)$ geschnitten wieder die leere Menge ergibt, gilt $0 = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Aber das reicht noch nicht ...
Kann mir jemand einen hilfreichen Tipp geben, wie ich dieses fiese "+" umformen bzw. den Übergang zur Formel der symmetrischen Differenz schaffe?
Danke!! 
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Wirklich niemand? Schade :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Mi 20.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das sind schon recht gute Überlegungen, die du da hast. Bei dieser Aufgabe solltest du einfach zeigen, dass (P(M), [mm] \triangle, \cap) [/mm] ein Ring ist. Dabei ist klar, dass [mm] \cap [/mm] die mengentheoretische Multiplikation ist, und die Rechnung bzgl. [mm] \cap [/mm] kannst du weglassen.
Wenn man festhält, dass [mm] +:=\triangle, [/mm] dann ist klar, dass (wie du zum größten Teil schon selber bewiesen hast):
i) A, B [mm] \in [/mm] P(M), dann [mm] A+B\in [/mm] P(M),
ii) aus [mm] A+\emptyset=A [/mm] folgt [mm] \emptyset=0,
[/mm]
iii) A+A=0
iv) A+B=B+A
v) AB=BA
vi) A(B+C)=AB+AC
Du solltest höchstens v) und vi) nachweisen und dann bist du fertig.
Gruß,
dormant
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Hallo dormant,
Vielen lieben Dank für Deine Antwort, ich freue mich über jede Hilfe.
In der Aufgabe soll ich aber nicht zeigen, daß (Pot(M), +, [mm] \cap) [/mm] ein Ring ist, wenn + = [mm] \triangle [/mm] (dieses habe ich in einer anderen Aufgabe schon bewiesen), sondern die Aussage:
"Ist (Pot(M), +, [mm] \cap) [/mm] ein Ring, so folgt: + ist die symmetrische Differenz [mm] \triangle".
[/mm]
Bzw. als Kontraposition:
Ist + nicht die symmetrische Differenz, so ist (Pot(M), +, [mm] \cap) [/mm] kein Ring.
Ich komme dabei irgendwie nicht weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 23.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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