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| Aufgabe | Für eine Menge M bezeichne P(M) die Potenzmenge von M und idM : M → M die identische Abbildung, die gegeben ist durch idM (x) = x für alle x ∈ M . Für eine Abbildung f : X → Y sei
P(f) : P(X) → P(Y )
A [mm] \mapsto [/mm] P(f)(A) gegeben durch P(f)(A) = f(A) für A ⊂ X.
(i) Sind f:X→Y und g:Y →Z zwei Abbildungen,dann gilt P(g ◦ f) = P(g) ◦ P(f) : P(X) → P(Z).
(ii) Es gilt P(idX ) = idP(X) .
(iii) Es sei f : R → R, x [mm] \mapsto [/mm] f(x) gegeben durch f(x) = [mm] x^2. [/mm] Bestimmen Sie P (f)(P(R)). |
Kann mir da einer helfen, ich sehe da ja nichtmal durch -.-
ganz zu schweigen, was ich da machen soll, dass weiß ich ja nun noch weniger =/.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für eine Menge M bezeichne P(M) die Potenzmenge von M und
> idM : M → M die identische Abbildung, die gegeben ist
> durch idM (x) = x für alle x ∈ M . Für eine Abbildung f
> : X → Y sei
> P(f) : P(X) → P(Y )
> A [mm]\mapsto[/mm] P(f)(A) gegeben durch P(f)(A) = f(A) für A ⊂
> X.
> (i) Sind f:X→Y und g:Y →Z zwei Abbildungen,dann gilt
> P(g ◦ f) = P(g) ◦ P(f) : P(X) → P(Z).
> (ii) Es gilt P(idX ) = idP(X) .
> (iii) Es sei f : R → R, x [mm]\mapsto[/mm] f(x) gegeben durch
> f(x) = [mm]x^2.[/mm] Bestimmen Sie P (f)(P(R)).
> Kann mir da einer helfen, ich sehe da ja nichtmal durch
> -.-
> ganz zu schweigen, was ich da machen soll, dass weiß ich
> ja nun noch weniger =/.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich möchte Dir helfen, die Aufgabe ein wenig besser zu durchschauen.
Dazu werde ich an einigen Stellen kleine Änderungen der Bezeichnungen vornehmen.
Zunächst werden Bezeichnungen eingeführt:
Wenn M irgendeine Menge ist, dann wird mit [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] die Potenzmenge bezeichnet, also die Menge, welche alle Teilmengen von M als Elemente enthält.
[mm] id_M [/mm] bezeichnet die Abbildung, die jedem Element aus M das Element selbst zuordnet, es ist [mm] id_M(x):=x [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] M.
Jetzt geht's richtig los:
Nun sei f irgendeine Abbildung, welche aus der Menge X ind die Menge Y abbildet, also [mm] f:X\to [/mm] Y.
Man erklärt jetzt eine neue Abbildung [mm] P_f, [/mm] welche Elemente der Potenzmenge von X auf Elemente der Potenzmenge von Y abbildet, also eine Abbildung [mm] P_f:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(Y).
[/mm]
Nun drängt sich die Frage auf: wie bildet [mm] P_f [/mm] denn ab, wie lautet die Funktionsvorschrift?
Antwort: es ist [mm] P_f(A):= [/mm] f(A) für alle [mm] A\in \mathcal{P}(X), [/mm] dh. für alle Teilmengen A von X.
An dieser Stelle halten wir, bevor Du Dich über die Aufgaben hermachst, einmal inne. Bisher sind lediglich Bezeichnungen eingeführt und eine Funktion definiert worden.
Dies schauen wir uns nun einmal an einem Beispiel an.
Es sei [mm] X:=\{1,2,3\}, Y:=\{a,b,c,d\}
[/mm]
und
[mm] f:X\to [/mm] Y mit
f(1):=a
f(2):=a
f(3):=b.
Nun wollen wir wissen, was die Abbildung [mm] P_f [/mm] macht.
Sie bildet ab von [mm] \mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(Y).
[/mm]
[mm] \mathcal{P}(X)=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},X\},
[/mm]
[mm] \mathcal{P}(Y) [/mm] schreibe ich jetzt nicht extra auf.
Jetzt gucken wir, wie [mm] P_f [/mm] abbildet.
Schau die Funktionsvorschrift oben an: jeder Teilmenge unserer Menge X wird ihr Bild unter f zugeordnet.
Also ist
[mm] P_f(\emptyset)=\emptyset [/mm]
[mm] P_f(\{1\})=\{a\}
[/mm]
[mm] P_f(\{2\})=\{a\}
[/mm]
[mm] P_f(\{3\})=\{b\}
[/mm]
[mm] P_f(\{1,2\})=\{a\}
[/mm]
[mm] P_f(\{1,3\})=\{a,b\}
[/mm]
[mm] P_f(\{2,3\})=\{a,b\}
[/mm]
[mm] P_f(X)=\{a,b\}
[/mm]
Wenn Du das verstanden hast, kannst Du Dir mal den Arbeitsauftrag von Aufgabe i) zu Gemüte führen und erste Versuche unternehmen.
Zu zeigen ist dort, daß (in meiner Schreibweise) [mm] P_{g\circ f}=P_g\circ P_f [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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