Potenzmenge < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:15 Sa 12.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(1) Eine Menge M ist genau dann transitiv, wenn die Potenzmenge [mm] $\frak{P}(M)$ [/mm] transitiv ist.
(2) Besteht ein Mengensystem [mm] $\frak{U}$ [/mm] aus transitiven Mengen, dann ist auch [mm] $\cup\frak{U}$ [/mm] und - falls [mm] $\frak{U}\neq\emptyset$ [/mm] - [mm] $\cap\frak{U}$ [/mm] transitiv. |
Hallo!
Erstmal nochmal kurz dazu, was "transitive Menge" bedeutet:
Eine Menge M heißt transitiv, wenn für alle $x,y$ gilt:
[mm] $x\in y\in M\Rightarrow x\in [/mm] M$.
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Meine Beweisidee zu (1):
Bitte auch meine Mitteilung ansehen, die ich an diese Aufgabe angehängt habe, weil ich da Einiges korrigiert/ geändert habe.
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Sei die Menge $M$ transitiv. Dann gilt für alle Mengen $x,y$: [mm] $x\in y\in M\Rightarrow x\in [/mm] M$.
Angenommen, [mm] $\frak{P}(M)$ [/mm] ist nicht transitiv. Dann ex. Mengen $x,y$ mit [mm] $x\in y\in \frak{P}(M)\not\Rightarrow x\in\frak{P}(M)$
[/mm]
Für alle [mm] $z\in\frak{P}(M)$ [/mm] gilt (da ja jedes z Teilmenge von M ist): [mm] $a\in z\Rightarrow a\in [/mm] M$ und deswegen gilt hier für alle [mm] $z\in\frak{P}(M)$ [/mm] und Mengen $x,y$:
[mm] $x\in y\in z\Rightarrow y\in [/mm] M$, also [mm] $x\in y\in [/mm] M$ und nach Voraussetzung somit [mm] $x\in M\in\frak{P}(M)$, [/mm] also [mm] $x\in\frak{P}(M)$.
[/mm]
WIDERSPRUCH (also ist [mm] $\frak{P}(M)$ [/mm] transitiv)
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Sei [mm] $\frak{P}(M)$ [/mm] transitiv. Das heißt, für alle $x,y$ gilt: [mm] $x\in y\in\frak{P}(M)\Rightarrow x\in\frak{P}(M)$.
[/mm]
Da [mm] $M\in\frak{P}(M)$, [/mm] gilt also [mm] $x\in y\in M\Rightarrow x\in [/mm] M$ und damit ist M transitiv.
Wer kann mir hierzu bitte ein Feedback geben?
An (2) versuche ich mich danach.
Danke!
Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Sa 12.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich würde für die Beweisrichtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] noch eine kleine Abänderung vorschlagen wollen:
Sei die Menge M transitiv. Das bedeutet für alle Mengen x,y gilt: [mm] $x\in y\in M\Rightarrow x\in [/mm] M$.
Angenommen, [mm] $\mathfrak{P}(M)$ [/mm] ist nicht transitiv. Dann existieren Mengen x,y mit [mm] $x\in y\in\mathfrak{P}(M)\not\Rightarrow x\in\mathfrak{P}(M)$.
[/mm]
Seien nun x,y beliebig gewählt mit [mm] $x\in y\in\mathfrak{P}(M)$. [/mm] Dann ist y mindestens in einem [mm] $z\in\mathfrak{P}(M)$ [/mm] enthalten. Da aber z Teilmenge von M ist, ist y auch in M enthalten.
Daraus folgt, daß man hat:
[mm] $x\in y\in [/mm] M$ und dann wegen der Voraussetzung, daß M transitiv ist: [mm] $x\in [/mm] M$. Damit ist x Teilmenge von M und also in der Potenzmenge von M enthalten.
Da x,y beliebig gewählt waren, gilt dies für alle x,y und es kann keine x,y geben, die das Obige erfüllen, das gelten müsste, wenn die Potenzmenge von M nicht transitiv wäre. WIDERSPRUCH
--------------------------
Auch für die Beweisrichtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] würde ich gerne etwas präzisieren:
Sei [mm] $\mathfrak{P}(M)$ [/mm] transitiv, d.h. für alle Mengen $x,y$ gilt: [mm] $x\in y\in\mathfrak{P}(M)\Rightarrow x\in\mathfrak{P}(M)$.
[/mm]
Betrachte nun beliebige Mengen $x,y$ mit [mm] $x\in y\in [/mm] M$.
Da dann offensichtlich $y$ Teilmenge von M ist, gilt [mm] $y\in\mathfrak{P}(M)$ [/mm] und deswegen aufgrund der Voraussetzung, daß [mm] $x\in\mathfrak{P}(M)$. [/mm] Das bedeutet aber, daß [mm] $x\in [/mm] z$ für mindestens ein [mm] $z\in\mathfrak{P}(M)$. [/mm] Das heißt aber nichts Anderes, da z eine Teilmenge von M ist, daß x auch in M enthalten ist. Damit ist M transitiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Sa 12.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Ich würde für die Beweisrichtung "[mm]\Rightarrow[/mm]" noch eine
> kleine Abänderung vorschlagen wollen:
>
>
> Sei die Menge M transitiv. Das bedeutet für alle Mengen
> x,y gilt: [mm]x\in y\in M\Rightarrow x\in M[/mm].
>
> Angenommen, [mm]\mathfrak{P}(M)[/mm] ist nicht transitiv. Dann
> existieren Mengen x,y mit [mm]x\in y\in\mathfrak{P}(M)\not\Rightarrow x\in\mathfrak{P}(M)[/mm].
>
> Seien nun x,y beliebig gewählt mit [mm]x\in y\in\mathfrak{P}(M)[/mm].
> Dann ist y mindestens in einem [mm]z\in\mathfrak{P}(M)[/mm]
> enthalten.
Das verstehe ich nicht. Zu zeigen ist doch, dass [mm] $x\in [/mm] P(M)$, also $x$ Teilmenge von $M$ ist. Dazu sei [mm] $a\in [/mm] x$. Wegen [mm] $y\in [/mm] P(M)$ ist $y$ Teilmenge von $M$, und wegen [mm] $x\in y\subseteq [/mm] M$ gilt [mm] $x\in [/mm] M$. Damit hat man [mm] $a\in x\in [/mm] M$, sodass aus der Transitivitaet von $M$ folgt, dass [mm] $a\in [/mm] M$. Mithin ist [mm] $x\subseteq [/mm] M$, d.h. [mm] $x\in [/mm] P(M)$.
> Da aber z Teilmenge von M ist, ist y auch in M
> enthalten.
>
> Daraus folgt, daß man hat:
>
> [mm]x\in y\in M[/mm] und dann wegen der Voraussetzung, daß M
> transitiv ist: [mm]x\in M[/mm]. Damit ist x Teilmenge von M und also
> in der Potenzmenge von M enthalten.
>
> Da x,y beliebig gewählt waren, gilt dies für alle x,y und
> es kann keine x,y geben, die das Obige erfüllen, das
> gelten müsste, wenn die Potenzmenge von M nicht transitiv
> wäre. WIDERSPRUCH
>
> --------------------------
>
> Auch für die Beweisrichtung "[mm]\Leftarrow[/mm]" würde ich gerne
> etwas präzisieren:
>
> Sei [mm]\mathfrak{P}(M)[/mm] transitiv, d.h. für alle Mengen [mm]x,y[/mm]
> gilt: [mm]x\in y\in\mathfrak{P}(M)\Rightarrow x\in\mathfrak{P}(M)[/mm].
>
> Betrachte nun beliebige Mengen [mm]x,y[/mm] mit [mm]x\in y\in M[/mm].
>
> Da dann offensichtlich [mm]y[/mm] Teilmenge von M ist,
Die Aussage stimmt, aber fuer mich ist es nicht offensichtlich. Ersteinmal ist $y$ ja nur ein Element von $M$, dass es tatsaechlich auch Teilmenge ist, folgt aus der Transitivitaet von $P(M)$. Aber Leute, die oefter mit diesem Begriff umgehen, sehen dies vielleicht schneller ein.
> gilt
> [mm]y\in\mathfrak{P}(M)[/mm] und deswegen aufgrund der
> Voraussetzung, daß [mm]x\in\mathfrak{P}(M)[/mm]. Das bedeutet aber,
> daß [mm]x\in z[/mm] für mindestens ein [mm]z\in\mathfrak{P}(M)[/mm]. Das
> heißt aber nichts Anderes, da z eine Teilmenge von M ist,
> daß x auch in M enthalten ist. Damit ist M transitiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 12.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das ist ja verwirrend...
Was hat es eigentlich mit diesem [mm] $\in$ [/mm] auf sich?
x und y sollen doch Mengen sein..
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Sa 12.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Kurze Verständnisfrage zu Teilaufgabe (2).
Also die Aufgabe (2) ist ja so formuliert:
Besteht ein Mengensystem [mm] $\mathfrak{U}$ [/mm] aus transitiven Mengen, dann ist auch [mm] $\cup\mathfrak{U}$ [/mm] und - falls [mm] $\mathfrak{U}\neq\emptyset$ [/mm] - auch [mm] $\cap\mathfrak{U}$ [/mm] transitiv.
Wie ist das zu verstehen:
Ich verstehe das so, daß
[mm] $\mathfrak{U}=\left\{U_1,U_2,U_3,...\right\}$ [/mm] ist und [mm] $U_1, U_2, U_3,...$ [/mm] alle transitive Mengen sind und nun soll man zeigen, daß auch
[mm] $\bigcup_{i\geq 1}U_i$ [/mm] bzw. [mm] $\bigcap_{i\geq 1}U_i$ [/mm] transitiv sind.
Korrekt verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Also die Aufgabe (2) ist ja so formuliert:
>
> Besteht ein Mengensystem [mm]\mathfrak{U}[/mm] aus transitiven
> Mengen, dann ist auch [mm]\cup\mathfrak{U}[/mm] und - falls
> [mm]\mathfrak{U}\neq\emptyset[/mm] - auch [mm]\cap\mathfrak{U}[/mm]
> transitiv.
>
> Wie ist das zu verstehen:
>
> Ich verstehe das so, daß
>
> [mm]\mathfrak{U}=\left\{U_1,U_2,U_3,...\right\}[/mm] ist und [mm]U_1, U_2, U_3,...[/mm]
> alle transitive Mengen sind und nun soll man zeigen, daß
> auch
>
> [mm]\bigcup_{i\geq 1}U_i[/mm] bzw. [mm]\bigcap_{i\geq 1}U_i[/mm] transitiv
> sind.
>
>
> Korrekt verstanden?
Falls [mm] $\mathfrak{U}$ [/mm] abzählbar ist, ja. Dies muss aber nicht gelten.
Im Allgemeinen ist
[mm] $\bigcup\mathfrak{U}=\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U$ [/mm] und
[mm] $\bigcap\mathfrak{U}=\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 13.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Was mache ich in dem Fall, daß [mm] $\mathfrak{U}$ [/mm] nicht abzählbar ist? Oder sieht die Aufgabe diesen Fall gar nicht vor und ich muss ihn nicht weiter beachten?
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Dann aber erstmal zu dem Fall, daß [mm] $\mathfrak{U}$ [/mm] abzählbar ist.
Da habe ich Folgendes gemacht:
Also ich will zeigen, daß [mm] $\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U$ [/mm] transitiv ist.
Da für alle [mm] $U\in\mathfrak{U}$ [/mm] gilt, daß sie transitiv sind, gilt für sie für alle $x,y$: [mm] $x\in y\in U\Rightarrow x\in [/mm] U$.
Jetzt nehme ich wieder beliebige $x,y$ her mit [mm] $x\in y\in\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U$. [/mm] Dann ist ja $y$ in einem der $U$ enthalten. Für dieses U gilt: [mm] $x\in y\in U\Rightarrow x\in [/mm] U$, da es ja nach Voraussetzung transitiv ist. $x$ ist dann aber auch in der Vereinigung aller [mm] $U\in\mathfrak{U}$ [/mm] enthalten, also [mm] $x\in\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U$. [/mm] Also ist [mm] $\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U$ [/mm] transitiv, denn dies gilt für alle $x,y$, da $x,y$ am Anfang beliebig ausgewählt waren.
Und recht analog würde ich auch zeigen, daß [mm] $\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U$ [/mm] tansitiv ist:
Betrachte beliebige $x,y$ mit [mm] $x\in y\in\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U$, [/mm] wobei (wie in der Formulierung der Aufgabe vorgesehen) vorausgesetzt sei, daß [mm] $\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U\neq\emptyset$.
[/mm]
Es folgt, daß [mm] $y\in [/mm] U$ für alle [mm] $U\in\mathfrak{U}$. [/mm] Das bedeutet [mm] $x\in y\in [/mm] U$ für alle [mm] $U\in\mathfrak{U}$. [/mm] Da alle [mm] $U\in\mathfrak{U}$ [/mm] nach Voraussetzung transitiv sind, folgt für alle [mm] $U\in\mathfrak{U}$: $x\in y\in U\Rightarrow x\in [/mm] U$. Damit ist $x$ aber auch im Schnitt aller [mm] $U\in\mathfrak{U}$, [/mm] d.h. [mm] $x\in\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U$. [/mm]
So das sind meine Ideen für den abzählbaren Fall.
Bleibt die Frage, wie ich den nicht abzählbaren Fall nun einbeziehe (falls die Aufgabe das verlangt).
Liebe Grüße & einen schönen Sonntag!
Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Dann aber erstmal zu dem Fall, daß [mm]\mathfrak{U}[/mm] abzählbar
> ist.
>
> Da habe ich Folgendes gemacht:
>
> Also ich will zeigen, daß [mm]\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U[/mm]
> transitiv ist.
>
> Da für alle [mm]U\in\mathfrak{U}[/mm] gilt, daß sie transitiv
> sind, gilt für sie für alle [mm]x,y[/mm]: [mm]x\in y\in U\Rightarrow x\in U[/mm].
>
> Jetzt nehme ich wieder beliebige [mm]x,y[/mm] her mit [mm]x\in y\in\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U[/mm].
> Dann ist ja [mm]y[/mm] in einem der [mm]U[/mm] enthalten. Für dieses U gilt:
> [mm]x\in y\in U\Rightarrow x\in U[/mm], da es ja nach Voraussetzung
> transitiv ist. [mm]x[/mm] ist dann aber auch in der Vereinigung
> aller [mm]U\in\mathfrak{U}[/mm] enthalten, also
> [mm]x\in\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U[/mm]. Also ist
> [mm]\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U[/mm] transitiv, denn dies gilt für
> alle [mm]x,y[/mm], da [mm]x,y[/mm] am Anfang beliebig ausgewählt waren.
>
>
> Und recht analog würde ich auch zeigen, daß
> [mm]\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U[/mm] tansitiv ist:
>
> Betrachte beliebige [mm]x,y[/mm] mit [mm]x\in y\in\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U[/mm],
> wobei (wie in der Formulierung der Aufgabe vorgesehen)
> vorausgesetzt sei, daß
> [mm]\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U\neq\emptyset[/mm].
Vorausgesetzt wird [mm] $\mathfrak{U}\not=\emptyset$, [/mm] nicht [mm] $\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U\neq\emptyset$.
[/mm]
> Es folgt, daß [mm]y\in U[/mm] für alle [mm]U\in\mathfrak{U}[/mm]. Das
> bedeutet [mm]x\in y\in U[/mm] für alle [mm]U\in\mathfrak{U}[/mm]. Da alle
> [mm]U\in\mathfrak{U}[/mm] nach Voraussetzung transitiv sind, folgt
> für alle [mm]U\in\mathfrak{U}[/mm]: [mm]x\in y\in U\Rightarrow x\in U[/mm].
> Damit ist [mm]x[/mm] aber auch im Schnitt aller [mm]U\in\mathfrak{U}[/mm],
> d.h. [mm]x\in\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}U[/mm].
>
>
> So das sind meine Ideen für den abzählbaren Fall.
> Bleibt die Frage, wie ich den nicht abzählbaren Fall nun
> einbeziehe (falls die Aufgabe das verlangt).
Alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und du hast (wie in der Aufgabe verlangt) nirgends benutzt, dass [mm] $\mathfrak{U}$ [/mm] abzählbar wäre.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 13.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das heißt, ich bin mit der Aufgabe schon fertig?
Bin gerade ein bisschen verdutzt.
Aber stimmt ja: [mm] $\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U$ [/mm] bzw. [mm] $\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}$ [/mm] benutzen ja nirgends, daß [mm] $\mathfrak{U}$ [/mm] abzählbar ist.
Wenn ich jedoch das so schreiben würde (wie ich es anfangs getan hatte): [mm] $\bigcup_{i\geq 1}U_i$ [/mm] bzw. [mm] $\bigcap_{i\geq 1}U_i$ [/mm] würde ich fälschlicherweise davon ausgehen, daß [mm] $\mathfrak{U}$ [/mm] abzählbar ist.
Daher muss man die obere Schreibweise nehmen, denn da impliziert man das dann nicht.
Habe ich das so korrekt kapiert?
(Ich habe mich immer schon schwer mit sowas getan, daher hake ich lieber nochmal nach.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Das heißt, ich bin mit der Aufgabe schon fertig?
>
> Bin gerade ein bisschen verdutzt.
>
> Aber stimmt ja: [mm]\bigcup_{U\in\mathfrak{U}}U[/mm] bzw.
> [mm]\bigcap_{U\in\mathfrak{U}}[/mm] benutzen ja nirgends, daß
> [mm]\mathfrak{U}[/mm] abzählbar ist.
>
>
> Wenn ich jedoch das so schreiben würde (wie ich es anfangs
> getan hatte): [mm]\bigcup_{i\geq 1}U_i[/mm] bzw. [mm]\bigcap_{i\geq 1}U_i[/mm]
> würde ich fälschlicherweise davon ausgehen, daß
> [mm]\mathfrak{U}[/mm] abzählbar ist.
>
> Daher muss man die obere Schreibweise nehmen, denn da
> impliziert man das dann nicht.
>
>
> Habe ich das so korrekt kapiert?
> (Ich habe mich immer schon schwer mit sowas getan, daher
> hake ich lieber nochmal nach.)
Alles korrekt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 So 13.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Vielen, vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Sa 12.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ist es eigentlich richtig, dass ich immer schreibe:
Seien x,y beliebige Mengen mit [mm] $x\in y\in [/mm] M$ . . . ?
Eigentlich sind x und y doch nur Elemente, oder?
Mich verwirrt das irgendwie...
Wenn ich zum Beispiel [mm] $M=\left\{a,b,c\right\}$ [/mm] habe...
Und dann sage ich [mm] $y\in [/mm] M$, so kenne ich das als zum Beispiel [mm] $y=b\in [/mm] M$.
Aber was ist dann x?? y ist ja dann keine Menge, wie soll ich dann x als Element aus y=b verstehen?!
Also müssen x und y doch Mengen sein (oder nur y)?
Oder ist [mm] $b=\left\{b\right\}$ [/mm] und es ist egal, ob ich Menge oder Element sage..?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:14 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Dennis,
> Ist es eigentlich richtig, dass ich immer schreibe:
>
> Seien x,y beliebige Mengen mit [mm]x\in y\in M[/mm] . . . ?
>
> Eigentlich sind x und y doch nur Elemente, oder?
Ich glaube, ich habe damit angefangen... In der axiomatischen (ZFC-)Mengenlehre sind alle Elemente von Mengen selbst wieder Mengen. Da stellt sich dieses Problem gar nicht.
Ich denke, du kannst davon ausgehen, dass M eine Menge von Mengen ist, also alle [mm] $y\in [/mm] M$ Mengen sind. (Sonst macht das Transitivitäts-Kriterium
"Für alle [mm] $z\in [/mm] M$ gilt [mm] $z\subseteq [/mm] M$."
gar keinen Sinn.)
(Letztlich gilt für transitive Mengen M dann auch, dass alle Elemente von Elementen von M Mengen sind.)
Du würde an deiner Stelle formulieren
"Sei [mm] $y\in [/mm] M$ und [mm] $x\in [/mm] y$."
und dabei annehmen, dass y eine Menge ist, x a-priori nicht notwendig.
> Oder ist [mm]b=\left\{b\right\}[/mm] und es ist egal, ob ich Menge
> oder Element sage..?
Nein, dies gilt nicht.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 13.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Habe ich Dich richtig verstanden, daß also $y$ eine Menge ist und $x$ nicht unbedingt?
Und daß ich am besten einfach nur schreibe:
"Seien $x,y$ beliebig mit [mm] $x\in y\in [/mm] M$..."?
(Dann ist man auf der sicheren Seite?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 13.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Habe ich Dich richtig verstanden, daß also [mm]y[/mm] eine Menge
> ist und [mm]x[/mm] nicht unbedingt?
So würde ich es annehmen. Was der/die Dozent(in) letztlich meinte, weiß ich nicht sicher. Um sicher zu gehen, könntest du ihn/sie fragen.
> Und daß ich am besten einfach nur schreibe:
>
> "Seien [mm]x,y[/mm] beliebig mit [mm]x\in y\in M[/mm]..."?
>
> (Dann ist man auf der sicheren Seite?)
Ich denke schon. Eure Definition von transitiv war ja auch nicht genauer.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 So 13.11.2011 | | Autor: | dennis2 |
Auch hier möchte ich mich gerne nochmal für Deine Hilfe bedanken!
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