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Hallo zusammen,
Es geht um Hauptachsentransformation und um die Formel $D=C^TAC$, wobei D in Diagonalboxgestalt (=Normalform) und C die orthogonale Matrix ist (die ja die ursprüngliche Basis in die neue ONB überführt). In der LAG-Übung hat uns unser Übungsleiter weiter gesagt, dass [mm] $D^m=C^TA^mC$ [/mm] sein muss.
Ich habe jetzt versucht das nachzuvollziehen. Er sagte wir sollen anhand von einigen Bsp. ausprobieren, dass das stimmt.
Was ich nachvollziehen konnte war, dass bei $C^TA^mC$ nacheinander [mm] $C^T$ [/mm] mit D (m-mal zu multiplizieren) jeweils nur ein [mm] \lambda_i [/mm] an jedes Element der i-ten Spalte dazumultipliziert wird. (D sieht ja wie folgt aus: [mm] D=\pmat{ \lambda_1 & ... & 0\\ 0 & ...\lambda_i... & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_n }). [/mm] Das ergibt sich aus der Matrizenmultiplikation und der Diagonalgestellt von D im symmetrischen Fall (=Hauptachsentransformation).
Aber wie erkläre ich damit, dass die obige Gleichung gilt?
Außerdem eine weiter Frage: Gehe recht in der Annahme, dass dann Potenzieren nur bei symmetrischen Matrizen so leicht ist, oder geht das immer? (weil ja sonst D nicht nur eindim. Boxen, sondern auch 2 dim. Boxen hat.)
Danke!
lg Kai
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> Es geht um Hauptachsentransformation und um die Formel
> [mm]D=C^TAC[/mm], wobei D in Diagonalboxgestalt (=Normalform) und C
> die orthogonale Matrix ist (die ja die ursprüngliche Basis
> in die neue ONB überführt). In der LAG-Übung hat uns unser
> Übungsleiter weiter gesagt, dass [mm]D^m=C^TA^mC[/mm] sein muss.
Hallo Kai,
Tipp:
schreib dir nur mal die Potenz [mm] D^3 [/mm] als Dreifachprodukt
fein säuberlich mit allen 9 Faktoren (nur die Symbole,
nicht die vollen Matrizen!) auf und mach dir klar,
wie man diesen Term mittels der bekannten Eigenschaften
z.B. der darin auftretenden orthogonalen Matrizen ver-
einfachen kann !
Mit den Lambdas musst du dich zu diesem Zweck gar
nicht herumschlagen.
LG Al-Chw.
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Aaaaaachso...
Ja klar, weil ja dann [mm] $C^{-1}$ [/mm] und $C$ immer verschwinden.
Okay... also geht das immer, wenn man eine geeignete ähnliche Matirx gefunden hat.
Danke
lg Kai
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