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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | Die allgemeine Potenzfunktion (a,x) [mm] \mapsto a^x, [/mm] a [mm] \in \IC^*, x\in\IC [/mm] sei definiert durch [mm] a^x=e^{x*log a}.
[/mm]
Zeigen oder widerlegen Sie das folgende Potenzgesetz: [mm] (a^x)^y=a^{xy} [/mm] |
Hallo,
Also ich weiß, dass das gesetz im komplexen so nicht gil. Das Problem ist nur, dass ich das durch ein Beispiel mit Zahlen gezeigt habe. Mein Übungsgruppenleiter will aber leider dazu immer einen richtigen beweis sehen. Ich dachte, ich könnte es über die e-funktion zeigen. Aber bei dieser gilt dieses Gesetz leider. Jetzt weiß ich nicht was ich machen soll.
Bei der e-Funktion habe ich mir folgendes gedacht:
[mm] (e^z)^g=e^{(a+ib)*g}=(e^{a}*(cos [/mm] b + i*sin [mm] b))^g=e^{g*a}*(cos [/mm] gb + i*sin gb)= [mm] e^{g*a}+e^{b*i}= e^{gz}
[/mm]
Ich weiß jetzt aber halt leider nicht wie ich weiter vorgehen soll. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die allgemeine Potenzfunktion (a,x) [mm]\mapsto a^x,[/mm] a [mm]\in \IC^*, x\in\IC[/mm]
> sei definiert durch [mm]a^x=e^{x*log a}.[/mm]
Diese Funktion ist mehrwertig, d.h. es gibt zu manchen Paaren $(a, x)$ mehrere moegliche Werte fuer [mm] $a^x$! [/mm] (Z.B. wenn $x = 1/2$ ist und $a$ nicht gerade $> 0$.)
Oder habt ihr [mm] $\log [/mm] a$ eindeutig definiert fuer alle $a [mm] \in \IC^*$?
[/mm]
> Zeigen oder
> widerlegen Sie das folgende Potenzgesetz: [mm](a^x)^y=a^{xy}[/mm]
> Hallo,
> Also ich weiß, dass das gesetz im komplexen so nicht gil.
> Das Problem ist nur, dass ich das durch ein Beispiel mit
> Zahlen gezeigt habe.
Aber das reicht doch voellig aus wenn du ein konkretes Gegenbeispiel mit Zahlen gefunden hast? Das ist ein Beweis (und zwar der Aussage `Das Potenzgesetz gilt nicht fuer alle $a [mm] \in \IC^*$, [/mm] $x, y [mm] \in \IC$').
[/mm]
> Mein Übungsgruppenleiter will aber
> leider dazu immer einen richtigen beweis sehen. Ich dachte,
> ich könnte es über die e-funktion zeigen. Aber bei dieser
> gilt dieses Gesetz leider. Jetzt weiß ich nicht was ich
> machen soll.
Wieso gilt es bei der e-Funktion?! Das ist mir aber neu. Wenn es gelten wuerde, dann waere [mm] $e^{\pi i} [/mm] = 1$ (versuche [mm] $\pi [/mm] i$ als Produkt von zwei passenden Zahlen zu schreiben).
> Bei der e-Funktion habe ich mir folgendes gedacht:
>
> [mm](e^z)^g=e^{(a+ib)*g}=(e^{a}*(cos[/mm] b + i*sin
> [mm]b))^g=e^{g*a}*(cos[/mm] gb + i*sin gb)= [mm]e^{g*a}+e^{b*i}= e^{gz}[/mm]
Was genau soll das werden? Hier benutzt du doch schon, dass [mm] $(e^z)^g [/mm] = [mm] e^{g z}$ [/mm] ist (was nicht stimmt).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 So 07.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo :).
Wäre [mm] \wurzel{-2i} =((i-1)^{2})^{1/2} \not= (i-1)^{2*1/2} [/mm] = i-1
ein geeignetes gegenbeispiel ?
Grüße
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 So 07.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo :).
>
> Wäre [mm]\wurzel{-2i} =((i-1)^{2})^{1/2} \not= (i-1)^{2*1/2}[/mm] = i-1
> ein geeignetes gegenbeispiel ?
Nein, da $i - 1$ tatsaechlich eine Quadratwurzel von $-2i$ ist. (Da $(i - [mm] 1)^2 [/mm] = i - 1$ ist.) Versuch mal etwas irrationales auszuklammern. Etwa $i = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \cdot \frac{1}{2 \pi}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Kyrill |
Hi,
also das verstehe ich jetzt nicht mit dem ausklammern...
Kannst du das bitte genauer erklären?
Auf jeden Fall schon einmal danke für deiner Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also das verstehe ich jetzt nicht mit dem ausklammern...
> Kannst du das bitte genauer erklären?
> Auf jeden Fall schon einmal danke für deiner Hilfe!
Das ist so gemeint:
Wenn die Potenzgesetze gelten wuerden, dann waere [mm] $e^i [/mm] = [mm] e^{2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi}} [/mm] = [mm] (e^{2\pi i})^{\frac{1}{2\pi}} [/mm] = [mm] 1^{\frac{1}{2\pi}} [/mm] = 1$. Und das [mm] $e^i$ [/mm] nicht $1$ ist kann man auch recht leicht zeigen...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Di 09.05.2006 | | Autor: | Kyrill |
Cool danke!
Jetzt habe ich es auch endlich raus!!!
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