Potenzgesetz beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 06.11.2013 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Beweise [mm] $x^n x^m [/mm] = [mm] x^{n+m}$. [/mm] |
1) $n [mm] \ge [/mm] 0$
vollständige Induktion nach $n$:
IA: $n=0$
[mm] $x^m [/mm] = [mm] x^m$ [/mm] also wahr.
IS: $n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$
IV: [mm] $x^{n+m} [/mm] = [mm] x^n x^m$
[/mm]
[mm] $x^{n+1} x^{m} [/mm] = [mm] x^n [/mm] x [mm] x^m [/mm] =^{IV} x [mm] x^{n+m} [/mm] = [mm] x^{n+m+1}$
[/mm]
2) $m [mm] \ge [/mm] 0$ analog nach $m$.
3) $n, m <0$
$n =:-k, m=:-l$
[mm] $x^n x^m [/mm] = [mm] x^{-k} x^{-l} [/mm] = [mm] (x^{-1})^k (x^{-1})^l [/mm] = [mm] (x^{-1})^{k+l} [/mm] = [mm] x^{-(k+l)} [/mm] = [mm] x^{-k+(-l)} [/mm] = [mm] x^{n+m}$.
[/mm]
Ist es so weit richtig? Wenn ja, in meinem Buch steht das ich erstmal 1) $n [mm] \ge [/mm] 0, m [mm] \ge [/mm] 0$ und dann 2) $n > 0$ und $m =-k$ mit $0<k [mm] \le [/mm] n$ behandelt soll, aber wozu soll ich den zweiten Fall behandelt, wenn der erste den zweiten schon enthält?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mi 06.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Beweise [mm]x^n x^m = x^{n+m}[/mm].
> 1) [mm]n \ge 0[/mm]
> vollständige
> Induktion nach [mm]n[/mm]:
> IA: [mm]n=0[/mm]
> [mm]x^m = x^m[/mm] also wahr.
>
> IS: [mm]n \rightarrow n+1[/mm]
> IV: [mm]x^{n+m} = x^n x^m[/mm]
> [mm]x^{n+1} x^{m} = x^n x x^m =^{IV} x x^{n+m} = x^{n+m+1}[/mm]
>
> 2) [mm]m \ge 0[/mm] analog nach [mm]m[/mm].
Das ist überflüssig. Wenn du m von Beginn an als beliebige feste Zahl verwendest, brauchst du keine Induktion dafür.
>
> 3) [mm]n, m <0[/mm]
> [mm]n =:-k, m=:-l[/mm]
> [mm]x^n x^m = x^{-k} x^{-l} = (x^{-1})^k (x^{-1})^l = (x^{-1})^{k+l} = x^{-(k+l)} = x^{-k+(-l)} = x^{n+m}[/mm].
>
> Ist es so weit richtig? Wenn ja, in meinem Buch steht das
> ich erstmal 1) [mm]n \ge 0, m \ge 0[/mm] und dann 2) [mm]n > 0[/mm] und [mm]m =-k[/mm]
> mit [mm]0
> zweiten Fall behandelt, wenn der erste den zweiten schon
> enthält?
Der erste Fall behandelt keine negativen Exponenten n.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 06.11.2013 | | Autor: | ne1 |
Was ist überflüssig? Die 1), die 2) oder beide?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 06.11.2013 | | Autor: | chrisno |
2 ist überflüssig
aber Du hast bisher nur positive n untersucht, also fehlt noch etwas.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 06.11.2013 | | Autor: | ne1 |
OK, ich verstehe jetzt nicht ganz was ich falsch mache. Nochmal, ich wollte erst mal zeigen, dass die gleichun für $n [mm] \ge [/mm] 0$ gilt (dabei ist $m$ beliebig) und das habe ich auch mit der vollständigen im ersten Punkt gezeigt. Dann muss ich noch zeigen, dass $n <0$, das kann ich teilweise machen in dem ich den Fall beweise, indem $m [mm] \ge [/mm] 0$ und $n$ beliebig. Somit fehlt mir nur noch der letzte Fall nämlich $n <0$ und $m <0$ und das ist bei mir der Fall 3. Insgesamt:
Fall 1) $n [mm] \ge [/mm] 0$, $m$ beliebig
Fall 2) $m [mm] \ge [/mm] 0$ $n$ beliebig
Fall 3) $n,m <0$.
Das sind doch alle Fälle. Was ist also an meinem Gedankengang falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:26 Do 07.11.2013 | | Autor: | abakus |
> OK, ich verstehe jetzt nicht ganz was ich falsch mache.
> Nochmal, ich wollte erst mal zeigen, dass die gleichun für
> [mm]n \ge 0[/mm] gilt (dabei ist [mm]m[/mm] beliebig) und das habe ich auch
> mit der vollständigen im ersten Punkt gezeigt. Dann muss
> ich noch zeigen, dass [mm]n <0[/mm], das kann ich teilweise machen
> in dem ich den Fall beweise, indem [mm]m \ge 0[/mm] und [mm]n[/mm] beliebig.
> Somit fehlt mir nur noch der letzte Fall nämlich [mm]n <0[/mm] und
> [mm]m <0[/mm] und das ist bei mir der Fall 3. Insgesamt:
> Fall 1) [mm]n \ge 0[/mm], [mm]m[/mm] beliebig
> Fall 2) [mm]m \ge 0[/mm] [mm]n[/mm] beliebig
Fall 2 ist überfdlüssig, weil er sich aus Fall 1 durch Vertauschen der Bezeichnungen m und n ergibt
> Fall 3) [mm]n,m <0[/mm].
Das ist zu speziell. Übrig bleibt n<0, m beliebig.
Gruß Abakus
>
> Das sind doch alle Fälle. Was ist also an meinem
> Gedankengang falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 07.11.2013 | | Autor: | ne1 |
1) $n [mm] \ge [/mm] 0$, $m$ beliebig durch vollst. Induktion zeigen.
2) $m [mm] \ge [/mm] 0$, $n$ beliebig ergibt sich in dem man die Variablen vertauscht, muss also nicht nochmal bewiesen werden.
Dann sagst Du $n,m<0$ wäre zu allgemein und man soll $n<0$, $m$ beliebig beweisen, aber der Fall entspricht folgenden Fällen:
a) $n<0$, $m [mm] \ge [/mm] 0$
b) $n<0$, $m < 0$.
Und der Fall a) ist schon im Fall 2) enthalten, deshalb bleibt nur der Fall a) zu Beweisen. Warum stimmt das was ich geschrieben haben nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Fr 08.11.2013 | | Autor: | abakus |
> 1) [mm]n \ge 0[/mm], [mm]m[/mm] beliebig durch vollst. Induktion zeigen.
> 2) [mm]m \ge 0[/mm], [mm]n[/mm] beliebig ergibt sich in dem man die
> Variablen vertauscht, muss also nicht nochmal bewiesen
> werden.
>
> Dann sagst Du [mm]n,m<0[/mm] wäre zu allgemein und man soll [mm]n<0[/mm], [mm]m[/mm]
> beliebig beweisen, aber der Fall entspricht folgenden
> Fällen:
> a) [mm]n<0[/mm], [mm]m \ge 0[/mm]
> b) [mm]n<0[/mm], [mm]m < 0[/mm].
> Und der Fall a) ist schon
> im Fall 2) enthalten, deshalb bleibt nur der Fall a) zu
> Beweisen. Warum stimmt das was ich geschrieben haben nicht?
>
Ich habe nicht gesagt, dass n<0, m<0 falsch ist.
Aber man muss nicht zwanghaft fordern, dass BEIDE negativ sind. Dieser Fall ist bereits dann bewiesen, wenn man n<0 und m beliebig ansetzt (weil "m beliebig" ja auch m<0 mit einschließt).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Fr 08.11.2013 | | Autor: | ne1 |
Also ist meine Lösung jetzt eigentlich OK?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 08.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh nicht mehr durch, was deine Lösung jetzt gerade ist. Gesehen hab ich nur [mm] n\ge [/mm] 0 m beliebig, nicht n<0, m beliebig.
Falls ich was übersehn habe, kopier doch deine Lösung in den nächsten post
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 08.11.2013 | | Autor: | ne1 |
> Hallo
> ich seh nicht mehr durch, was deine Lösung jetzt gerade
> ist. Gesehen hab ich nur [mm]n\ge[/mm] 0 m beliebig, nicht n<0, m
> beliebig.
> Falls ich was übersehn habe, kopier doch deine Lösung in
> den nächsten post
> Gruss leduart
Zu beweisen ist: $ [mm] x^n x^m [/mm] = [mm] x^{n+m} [/mm] $, ($x,y [mm] \in \mathbb{R}, [/mm] n,m [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] und $x [mm] \not [/mm] = 0$ falls $n<0$ oder $m<0$).
Beweis:
1) $n [mm] \ge [/mm] 0$, $m$ beliebig:
vollständige Induktion nach $n$:
IA: $n = 0$, daraus folgt [mm] $x^m [/mm] = [mm] x^m$ [/mm] also ist die Gleichung wahr für $n=0$.
IS:
IV: [mm] $x^n x^m [/mm] = [mm] x^{n+m}$. [/mm]
Zu Beweisen [mm] $x^{n+1}x^m [/mm] = [mm] x^{n+1+m}$.
[/mm]
Beweis: [mm] $x^{n+1}x^m [/mm] = [mm] x^n x^1 x^m [/mm] = [mm] x^1 x^n x^m [/mm] =^{IV} = [mm] x^1 x^{n+m} [/mm] = [mm] x^{n+1+m}$
[/mm]
2) $m [mm] \ge [/mm] 0$, $n$ beliebig:
Analog wie 1), entsteht durch vertauschen der Variablen $m$ und $n$.
3) $n,m <0$:
$ n =:-k, m=:-l $
$ [mm] x^n x^m [/mm] = [mm] x^{-k} x^{-l} [/mm] = [mm] (x^{-1})^k (x^{-1})^l [/mm] = [mm] (x^{-1})^{k+l} [/mm] = [mm] x^{-(k+l)} [/mm] = [mm] x^{-k+(-l)} [/mm] = [mm] x^{n+m} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Fr 08.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig
vielleicht im ersten Tei dazu safen, da m beliebig, filt das auch für m<0
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:36 Mo 11.11.2013 | | Autor: | ne1 |
Danke. Die letzte Frage die ich noch habe, ist ein Tipp, den ich zu dieser Aufgabe im Buch habe. Da steht ich soll die Fälle
1) $n [mm] \ge [/mm] 0, m [mm] \ge [/mm] 0$
2) $n > 0$ und $m = -k$ mit $0 < k [mm] \le [/mm] n$ untersuchen und den allgemeinen Fall auf 1) und 2) zurückführen. Kann es mir jemand bitte das erläutern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 19.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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